Matematik

Kompleks Analyse

11. september 2017 af NetteLind (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hejsa.

Jeg sidder med denne opgave, og ved ikke hvad jeg skal gøre med den.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2017-09-11 kl. 14.00.53.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. september 2017 af fosfor (Slettet)

a) Ledene er jo
$\frac{1}{n}3^n z^{2 n}=\frac{1}{n}\sqrt{3}^{2n} z^{2n}=\frac{1}{n}(\sqrt{3}z)^{2n}$

Den eksponentielle faktor vinder, og kun hvis $\sqrt{3}z$ er skarpt større end 1 bliver udtrykket ubegrænset.

Dvs. T_g = [ 0 , 1/sqrt(3) ]
Med sup(T_g) = 1/sqrt(3)

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. september 2017 af fosfor (Slettet)

b) n³ er ubegrænset, ved mindre den dræbes af z^{2^n}. Det kræver at sidstnævnte aftager, hvilket gælder for z<1. For disse z aftager den endvidere nok til at dræbe n³, da det indlysende gælder at z^{2^n} < zⁿ for stort nok n (og alle højere n), for vi ved jo at noget eksponentielt aftagende zⁿ dræber n³

T_h = [0,1)
sup T_h = 1

Svar #3
11. september 2017 af NetteLind (Slettet)

Mange tak for dit svar! Kan du evt. også hjælpe mig med denne opgave? Det drejer sig om opgave 1. Begge delspørgsmål. Da har jeg heller ingen rigtig forslag.

Vedhæftet fil:opgaveA.pdf

Brugbart svar (0)

Svar #4
11. september 2017 af fosfor (Slettet)

I a) tror jeg i burde kende at cos(x) kun har rødder på den reelle akse.
Samt at ethvert reelt tal a er lig e^z præcis når
z = 2 pi i k + log(a)
hvor k er et heltal.

Brugbart svar (0)

Svar #5
11. september 2017 af fosfor (Slettet)

1. Potensrækkedefinition af cos(x)
3. Potensrækkedefinition af e^x
5. Sætning fra opgaven

$\\\cos(\pi e^z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n (\pi e^z)^{2 n}}{(2 n)!} \\\cos(\pi e^z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n \pi^{2 n}}{(2 n)!}e^{2 n z} \\\cos(\pi e^z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n \pi^{2 n}}{(2 n)!}\sum_{m=0}^\infty \frac{(2 n z)^m}{m!} \\\cos(\pi e^z)=\sum_{n=0}^\infty\sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^n \pi^{2 n}}{(2 n)!} \frac{(2 n z)^m}{m!} \\\cos(\pi e^z)=\sum_{m=0}^\infty\frac{1}{m!}\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n \pi^{2 n}}{(2 n)!} (2 n)^mz^m$

Svar #6
11. september 2017 af NetteLind (Slettet)

Så såvidt jeg forstår skal jeg i a) se på cos(pi*e^(2*pi^k + loga)). Her ser jeg så at cos vil have nulpunkter præsident når jeg har det lange udtryk. Og så tegne cos ind.
I b) skal jeg så kigge på potensrække def for cos og e^z, men hvad skal jeg bruge din udregning til?

Svar #7
11. september 2017 af NetteLind (Slettet)

Jeg har tænkt over b) dit svar 5, og jeg kan nu se at du har brugt def af potensrækker for både cos og e, og jeg forstår din udregning, men jeg kan ikke se, hvad jeg skal bruge resultatet af udregningen til. Potensrækkerne er ikke ens.

Desuden med citat 4, forstår jeg godt at cos er periodisk, men hvad mener du med "Samt at ethvert reelt tal a er lig ez præcis når z = 2 pi i k + log(a) hvor k er et heltal."

Skriv et svar til: Kompleks Analyse

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.