Matematik

Bestemt integral

01. oktober 2017 af brotherman - Niveau: A-niveau

Jeg har prøvet at udregne disse to bestemte integraler, men får desværre det forkerte resultat. Nogle der ligger inde med beregningerne, da jeg ikke aner hvor fejlen ligger? ;-)

a) $\int_{0}^{1}$ x²*(x³+1)³ dx

b) $\int_{2}^{7$ $\frac{2}{4*x+2}$ dx

Brugbart svar (0)

Svar #1
01. oktober 2017 af peter lind

Brug substitutiona

a) t=x³+1 dt=3x²dt

b) t=4x+2 dt=4dx

Brugbart svar (0)

Svar #2
01. oktober 2017 af mathon

a)
$\small \int_{0}^{1}x^2\left ( x^3+1 \right )^3\, \mathrm{d}x$

sæt
$\small u=x^3+1$ og dermed $\small \tfrac{1}{3}\, \mathrm{d}u=x^2\, \mathrm{d}x$

grænser:
$\small \begin{matrix} 1\\0 \end{matrix}\rightarrow \begin{matrix} 2\\1 \end{matrix}$

$\small \int_{0}^{1}x^2\left ( x^3+1 \right )^3\, \mathrm{d}x=\int_{0}^{1}\left ( x^3+1 \right )^3\,x^2 \mathrm{d}x=\tfrac{1}{3}\int_{1}^{2}u^3 \mathrm{d}u=\left [ \tfrac{1}{4}u^4 \right ]_1^{2}=$

$\small \tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{1}{4}\cdot \left ( 2^4-1^4 \right )=\tfrac{1}{12}\cdot \left ( 16-1 \right )=\tfrac{15}{12}=\tfrac{5}{4}=1\tfrac{1}{4}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
02. oktober 2017 af mathon

b)
$\small \small \int_{2}^{7}\frac{2}{ 4x+2 }\, \mathrm{d}x\; \; \; \; \; \; \; \; x\neq-\tfrac{1}{2}$

sæt
$\small u=4x+2$ og dermed $\small \tfrac{1}{2}\, \mathrm{d}u=2\, \mathrm{d}x$

grænser:
$\small \begin{matrix} 7\\2 \end{matrix}\rightarrow \begin{matrix} 30\\10 \end{matrix}$

$\small \small \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \int_{2}^{7}\frac{2}{ 4x+2 }\, \mathrm{d}x=\int_{2}^{7}\frac{1}{ 4x+2 }\, 2\mathrm{d}x=\tfrac{1}{2}\int_{10}^{30}\frac{1}{ u }\, \mathrm{d}u=\tfrac{1}{2}\left [ \ln(u) \right ]_{10}^{30}=$

$\small \tfrac{1}{2}\left (\ln(30)-\ln(10) \right )=\tfrac{1}{2}\ln\left ( \tfrac{30}{10} \right )=\tfrac{1}{2}\ln(3)$

Svar #4
02. oktober 2017 af brotherman

Jeg takker

Skriv et svar til: Bestemt integral

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.