Matematik

Geometri og lineæresystemer

15. oktober 2017 af isa223 - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har brug for hjælp til hvilke regnemetoder jeg kan anvende for at besvare de her spørgsmål? Skal bare have lidt hjælp til hvordan jeg starter opgaverne :)


Brugbart svar (0)

Svar #1
15. oktober 2017 af peter lind


Brugbart svar (0)

Svar #2
15. oktober 2017 af peter lind

a) Vis at for a = 2 er planerne parallelle

b) Løs ligningssystemet og se hvornår der er præcis 1 løsning. Se evt. på determinanten for de 3 ligninger

c) Determinanten for de 3 af ligningssystemerne skal være 0


Svar #3
15. oktober 2017 af isa223

I a) ville man så kigge på normalvektorene? Hvordan viser man at de er parallelle? 

og i b), kan man evt. lave en matrix ud fra de 4 ligninger, sætte den lig med 0, og finde a? 


Brugbart svar (0)

Svar #4
15. oktober 2017 af fosfor

Planerne er ikke parallelle...  Husk at der er 4, og et fælles punkter er et punkt alle 4 planer har tilfælles


Brugbart svar (0)

Svar #5
15. oktober 2017 af fosfor

a) Dan en 3x3 matrix med x,y,z koefficienterne for 3 af ligningerne. Determinanten (hvis du vælger de rette 3) er forskellig fra 0, hvilket betyder at der er præcis et fællespunkt for disse 3. Ved at indsætte løsningen for de 3 planligninger (dvs. fællespunktets koordinater) i den fjerde ligning, at det ikke er fælles for alle 4.


Svar #6
15. oktober 2017 af isa223

#4

Planerne er ikke parallelle...  Husk at der er 4, og et fælles punkter er et punkt alle 4 planer har tilfælles

Men hvordan viser jeg så i opgave a, at de ikke har nogle fællespunkter? :)


Svar #7
15. oktober 2017 af isa223

Jeg har fået determinanten for de tre første ligninger til at være 0, skal jeg blive ved med at prøve indtil determinanten er forskellig fra 0?


Brugbart svar (0)

Svar #8
15. oktober 2017 af fosfor

Ja, fordi som skrevet i #2 (under c) ), så er der uendelig mange løsninger, hvis alle determinanter er 0, så a)-opgaven siger at det ikke er tilfældet.


Svar #9
15. oktober 2017 af isa223

Hvad gør jeg efter at have fundet determinanten i opgave a?


Brugbart svar (0)

Svar #10
15. oktober 2017 af fosfor

Løs tre ligninger med tre ubekendte. Du kan ligeså godt gøre det for symbolsk a, og så indsætte a=2 bagefter, da løsningen for generelt a skal bruges i b)


Svar #11
15. oktober 2017 af isa223

Tusind tak for hjælpen! Jeg fik det til at virke med opgave a. 

Jeg har i opg. b, løst tre ligninger med 3 ubekendte, for symbolsk a. Men hvordan kommer jeg videre der fra? Så jeg kan bestemme tallet a hvorfor de alle har ét fællespunkt. 


Brugbart svar (0)

Svar #12
15. oktober 2017 af fosfor

Når man løser for generelt a kommer man til at dividerer med  a+1, hvorfor antagelsen  a ≠ -1  er nødvendig.

For all andre a, viser den generelle løsning (x,y,z) for de tre ligninger, at de tre tilhørende planer har præcis et fællespunkt/løsning. Indsæt denne løsning i den fjerde planligning, som så bliver en ligning mht. a med løsning a=0 eller a=1.

Alt andet end  a ∈ {-1,0,1}  er dermed udelukket. Gæt nu at det er a=1 der er svaret. Det bekræftes ved at finde en determinant (hvor den fjerde ligning skal indgå) som ikke giver 0.


Brugbart svar (0)

Svar #13
15. oktober 2017 af fosfor

c)
Fra b) ved du at a=0 og a=1 giver højst en fælles løsning, samt at alt andet end a ∈ {-1,0,1} giver 0 løsninger. Dvs. a=-1. Indsæt dette a og løs 4 ligninger med 3 ubekendte, hvor der i eliminationen opstår to trivielle ligninger (0 = 0), så der kun er to planligninger tilbage, svarende til den ønskede linje.

Rettelse: det er ikke rigtigt hvad jeg tidligere skrev "der er uendelig mange løsninger, hvis alle determinanter er 0", da betingelsen ikke er tilstrækkelig, men kun nødvendig.


Brugbart svar (0)

Svar #14
16. oktober 2017 af VandalS

Hvis du vil benytte metoder fra Matematik 1 til opgave a) kan du også vise, at rangen af totalmatricen er strengt større end rangen af koefficientmatricen, hvilket betyder at systemet indeholder en inkonsistent ligning (og derfor ikke har nogen løsninger, der opfylder alle ligningerne samtidig).


Svar #15
17. oktober 2017 af isa223

#13

c)
Fra b) ved du at a=0 og a=1 giver højst en fælles løsning, samt at alt andet end a ∈ {-1,0,1} giver 0 løsninger. Dvs. a=-1. Indsæt dette a og løs 4 ligninger med 3 ubekendte, hvor der i eliminationen opstår to trivielle ligninger (0 = 0), så der kun er to planligninger tilbage, svarende til den ønskede linje.

Rettelse: det er ikke rigtigt hvad jeg tidligere skrev "der er uendelig mange løsninger, hvis alle determinanter er 0", da betingelsen ikke er tilstrækkelig, men kun nødvendig.

Hvor ved vi fra at a=-1? i opgave b) fik jeg a = 1 og ikke andet 


Skriv et svar til: Geometri og lineæresystemer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.