Matematik

rande analyse

24. oktober 2017 af Mie12345678 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

find ektrama værdi for (x,y) defineret over S, når

f(x,y)= x^2+y^2+y-1 S=(x,y)=x^2+y^2 -< 1

hvordan skal jeg løse opgaven,

jeg har startet med at finde de stationsnære punkter som giver (0,-0,5) hermed har jeg fundet funktionsværdi til -1,75.

Men hvordan skal jeg finde maksimum og minimium for f på randen af D?

Svar #1
24. oktober 2017 af Mie12345678 (Slettet)

Kan nogle hjælpe

Brugbart svar (0)

Svar #2
24. oktober 2017 af fosfor (Slettet)

Randen kan parametriseres ved R(t) = (cos(t), sin(t))

Find stationære punkter af f(R(t)) når 0 <= t < 2pi

Brugbart svar (0)

Svar #3
24. oktober 2017 af SådanDa

Randen er der hvor x²+y²=1, altså cirklen med radius 1, med andre ord x=±√(1-y²).

Så find max og min for: f(√(1-y²),y) og f(-√(1-y²),y)

Svar #4
24. oktober 2017 af Mie12345678 (Slettet)

Altså først har jeg differentiere funktion hvor jeg har sat de to funktioner lig med 0 hermed har jeg på x=0 og y= -0,5 er det rigtigt

Brugbart svar (0)

Svar #5
24. oktober 2017 af fosfor (Slettet)

Eller pga. kontinuitet er x^2+y^2 = 1 på randen, dvs. f(x,y)= 1+y-1 = y

Dvs. minimer/maximer y når x^2+y^2 = 1

y kan højst/lavst være 1/-1 og x må i så fald være 0.

Brugbart svar (0)

Svar #6
24. oktober 2017 af fosfor (Slettet)

x=0 og y= -0,5 er stationær, og et minimum, da den hessematricen er positivt definit

Svar #7
24. oktober 2017 af Mie12345678 (Slettet)

Skal jeg indsætte -0,5 på y plads?

Svar #8
24. oktober 2017 af Mie12345678 (Slettet)

Hvordan finder jeg helt præcis maksimum og minimum for f på randen af D?

Brugbart svar (0)

Svar #9
24. oktober 2017 af fosfor (Slettet)

#7 Kommer an på hvor i opgaven du mener
#8 Se #2, #3 eller #5

Svar #10
24. oktober 2017 af Mie12345678 (Slettet)

Skal jeg differentiere x^2+y^2=1

Svar #11
24. oktober 2017 af Mie12345678 (Slettet)

Kan ikke vise mig hvordan man gør?

Svar #12
24. oktober 2017 af Mie12345678 (Slettet)

Skal jeg diffeeentiere x^2+y^2=1

Brugbart svar (0)

Svar #13
24. oktober 2017 af SådanDa

Se #5 f(x,y)=x²+y²+y-1 på randen gælder x²+y²=1, så f(x,y)=1+y-1=y, hvornår er f(x,y) så størst når x²+y²=1? Nødvendigvis når y=1 og den er mindst når y=-1 i begge tilfælde er x=0. Så minimum på randen er i (0,-1) og maksimum på randen er i (0,1).

Svar #14
24. oktober 2017 af Mie12345678 (Slettet)

Hvordan kan man vide den er -1 og hvordan kommer du frem til f(x,y)= 1+y-1=y

Brugbart svar (0)

Svar #15
24. oktober 2017 af SådanDa

bemærk f(x,y)=x²+y²+y-1 men du ved at på randen gælder x²+y²=1, det sætter du ind i f(x,y) i stedet for det med fed. så får du f(x,y)=y, den afhænger altså kun af y. Vi skal stadig overholde randbetingelsen y²+x²=1. bemærk her at x² og y² er positive. Så summen kan kun give 1 hvis både x²≤1 => -1≤x≤1 og y²≤1 =>-1≤y≤1

Her ses at y mindst kan være -1 og højest 1. For at finde de tilsvarende x-værdier løses: x²+1²=1 og

x²+(-1)²=1

Svar #16
24. oktober 2017 af Mie12345678 (Slettet)

Skal man løse lig for x og det giver 0

Brugbart svar (0)

Svar #17
24. oktober 2017 af SådanDa

ja, så max på randen er i (0,1) og min i (0,-1)

Svar #18
24. oktober 2017 af Mie12345678 (Slettet)

Mange tak. Du er så god til at forklare. Min lærer prøvede at forklar men forstod det ikke

Svar #19
25. oktober 2017 af Mie12345678 (Slettet)

her er der også en opgave mere:

f(x,y)= 4x-2*x^2-2y^2 S= x^2+y^2 <- 25

jeg finder stationsnære punkter som jeg får til y=0 og x=1

men hvordan indsætter jeg randen inde på f(x.y)? indsætter jeg 25 inde på x^2 og y^2 plads?

Skriv et svar til: rande analyse

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.