Matematik

Hjælp til limit - eller mere forklaring af noget mystisk

28. oktober 2017 af KaspermedK - Niveau: Universitet/Videregående

UPDATE! Jeg har læst forkert på opgaven. Beklager ulejligheden.

Hej. Jeg har fået til opgave at bestemme grænseværdien for denne funktion

${\frac {x \left( {\pi}^{2}-2\,{x}^{2} \right) }{ \sqrt {{\pi}^{2}{x}^{2}-{x}^{4}}}}$

For når $x\rightarrow \pi^+$ og $x\rightarrow \pi^-$ . Når jeg bestemmer $x\rightarrow \pi^-$ får jeg $-\infty$ MEN! når jeg bestemmer $x\rightarrow \pi^+$ får jeg også $-\infty$ hvor mit CAS værktøj siger $i\infty$ hvor $i$ er fra de komplekse tal. Hvordan tackler jeg denne situation?

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. oktober 2017 af peter lind

Divider i tæller og nævner med x². Tælleren bliver x*π²/x²-2 -> π-2 for x -> π. Nævneren kvdrod(π²-x²) går mod 0. Det er alt sammen uafhængig af om x->π fra højre eller venstre

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. oktober 2017 af peter lind

Fejl i nævneren i #1

nævneren er kvrod(π²/x²-1) -> 0 for x->π

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. oktober 2017 af Eksperimentalfysikeren

Hvis x er større end π, er π²x²-x⁴ negativ. Derfor er kvadratroden ikke defineret i de reelle tal. For komplekse tal er der nogen uenighed om, hvordan kvadratroden skal tolkes. Nogle mener, at den er udefineret for alle komplekse tal, mens nogle mener, at den har to værdier og dermed ikke er en funktion. Problemer er, at komplekse tal ikke kan ordnes. Begge løsninger må således siges at være forkerte, både din og CAS-værktøjets.

Svar #4
28. oktober 2017 af KaspermedK

#3 hvordan det? Jeg splitter det op, sådan så jeg regner nævneren og får -pi^3 og tælleren roder jeg lidt med. Jeg anvender x=e^ln(x) undervejs, så det kommer til at se sådan ud:

$\lim_{x\rightarrow \pi^-} ({\frac {x \left( {\pi}^{2}-2\,{x}^{2} \right) }{ \sqrt {{\pi}^{2}{x}^{2}-{x}^{4}}}})$

$-\pi^3\cdot e^{\lim_{x\rightarrow \pi^-}ln({\frac {1 }{ \sqrt {{\pi}^{2}{x}^{2}-{x}^{4}}})}}$ her vælger jeg at se udelukkende på

$\lim_{x\rightarrow \pi^-}ln({\frac {1 }{ \sqrt {{\pi}^{2}{x}^{2}-{x}^{4}}})}=\lim_{x\rightarrow \pi^-}\frac{-1}{2}ln({\pi}^{2}{x}^{2}-{x}^{4}))$ hvor jeg fra min bog ved, at hvis man lader x gå mod 0 for ln(x) fås -infinity og dermed får jeg i hele opgaven -infinity.

Brugbart svar (0)

Svar #5
28. oktober 2017 af fosfor (Slettet)

Når $x\to \pi^-$ kan man bruge kvotientreglen for grænser, og bare sætte pi ind i tælleren, samt omskrive ved at tage $i$ uden for kvadratroden:

$\frac{x \left(\pi ^2-2 x^2\right)}{\sqrt{\pi ^2 x^2-x^4}}=\frac{-\pi ^3}{i \sqrt{x^4-\pi ^2 x^2}}=\frac{i\pi ^3}{\sqrt{x^4-\pi ^2 x^2}}$

som er et imaginært tal (dvs. realdelen = 0) med positiv imaginærdel for alle x > pi. Hvis man tager absolutværdien er der blot tale om en reel grænse som går mod uendelig.

Når et komplekst udtryk går mod uendelig i absolutværdi, men konvergerer i argument, så skrives det $z\ \infty$ hvor z er et komplekst tal med absolutværdi 1 og argument lig grænseværdien af det pågældende udtryks argument.

Udtrykkets argumentet er pi/2 for alle x > pi, og dermed også i grænsen $x\to \pi^-$ og da arg(i) = pi/2 og abs(i) = 1, bliver grænsen $i\ \infty$ når man anvender ovenstående beskrevet skrivemåde.

Brugbart svar (0)

Svar #6
28. oktober 2017 af fosfor (Slettet)

#3 "at den er udefineret for alle komplekse tal" - hvilke nulevende mennesker mener det???

Brugbart svar (0)

Svar #7
29. oktober 2017 af Eksperimentalfysikeren

#6 Et simpelt spørgsmål: z = cos(2φ)+isin(2φ). Hvad er kvadratroden af z?

Brugbart svar (0)

Svar #8
29. oktober 2017 af peter lind

z=e^i*2φ ±e^iφ

Skriv et svar til: Hjælp til limit - eller mere forklaring af noget mystisk

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.