Differentialligning (igen)

(11-y(t) )^-2dy = e^6tdt integrer på begge sider

Hvis du kvadrerer parentesen, skal du huske at det hele skal ganges med  e^6*t

#1 Har jeg gjort, men tror, jeg kommer til at gøre noget forkert, når jeg isolerer y? Har vedhæftet en fil af mine beregninger. :-) 

Næh, hov, mine beregninger er da ikke helt rigtige? Skal jo gange ind parentesen, ja. Eller ... næh, får jo det samme. 

I det 3. udtryk går det galt. Når du dividerer med e^6t skal du også det på c

Kunne jeg ikke også gange e^(6t) ind i parentesen, således at jeg får udtrykket i filen her?

jo det kan du også

Ok, tak. Nu er problemet så, at jeg skal finde den løsning, der opfylder, at y(11) = 10. Jeg ved godt, hvad jeg skal gøre, men jeg kan ikke få det resultat, Maple giver. 

Er det, jeg har gjort i filen, rigtigt? 

Jeg overså desværree  i #45 at du skal gange på alle led. undskyld.  Du ganger med (11-y)*6

Ja, for at komme af med brøkerne, ikke? Men den anden måde er vel også fin? Altså den måde, jeg har gjort det på? :-) Det giver i hvert fald mening i forhold til Maple. 

Ja men det er i filen i #7 du har lavet fejlen

Så er dette rigtigt? Se fil.

Nej, øjeblik, overså et y og kom til at skrive c i stedet for.

Nu har jeg beregnet den fuldstændige løsning + den løsning, der opfylder, at y(11) = 10. Jeg skal dog også beregne løsningen, der opfylder, at y(10) = 11, men når jeg prøver at isolere c, giver ligningen ingen mening. TI-89 siger "false", og Maple vil ikke løse den.

Det er fordi c går ud af ligningen eller med andre ord ligningen er opfyldt for alle c

Når du finder den fuldstændige løsning i første del, så er der et tidspunkt hvor der opstår en division med
11-y(t). Dvs. en 0-division hvis y(10) = 11, og den fuldstændige løsning fra del 1 er dermed ugyldig når y(10) = 11. Derfor skal du I sidste del starte helt forfra med ligningen:

y'(t) = (11-y(t))^2 * e^6*t

Hvis man differentierer på begge sider for at finde y''(t), y'''(t) osv. så får man på højre side en sum hvor alle led indeholder mindst en af  {  (11-y(t)) ,  y'(t)  ,  y''(t)  ,  y'''(t)  ,  .......}
Da den første er 0 i t=10, så fås fra differentialligningen at y'(t) = 0 når t=10, osv. for alle de afledede.

Dvs. hvis der er en analytisk løsning med y(10) = 11, så kan det kun være y(t) = 11. Ved indsættelse i ligningen ses at y(t) = 11 rent faktisk er en løsning, som opfylder y(10) = 11

#17 Det forstår jeg ikke. Altså det med at starte forfra. Jeg isolerer y som vist i filen, og denne gang stemmer det heldigvis med Maple. Men kan ikke se, at der er en division med 11-y(t)? Eller også er jeg bare træt. 

Hvis det er for meget noget gætværk at løsningen bliver   y(t) = 11

Så kan du bestemme c i den fuldstændige løsning fra del 1 således at y(q) = q + 1

Indsæt det fundne c i den fuldstændige løsning, og vis for alle t, at

Før det er vist at y(t) = 11 er løsning skal den stadig bekræftes ved indsættelse i ligningen 

Der er division med 11-y(t) i første linje som dermed er ugyldig for y(10) = 11

Pga <=> (hvis-kun-hvis-pil) hele vejen igennem bliver den fuldstændige løsning også ugyldig for y(10) = 11