Matematik
Vektor - angiv dimensionen af billedrummet f(W)
Assignment 3.
I vektorrummet C ∞(R) af glatte, reelle funktioner betragtes det underrum W som er udspændt af det lineært uafhængige vektorsæt a = (t, et , e−t ).
a) Hvilke af funktionerne e −t + t og cos(t) tilhører W ?
The functions belong to W if they can be written as a linear combination of the values in a. This is seen quite simply in e-t + t. It’s already written in the form of a linear combination where the constants are in front of e-t, 0 in front of et and 1 in front of t.
Cos(t) does not belong to W. While cos(t) can be written as , which is very similar to simply using ½ as the factor in front of both , but the vectorspace is defined as being real, meaning that we couldn’t include i. Even if complex numbers were involved, i couldn’t be in the exponent of e through a coefficient multiplied with et or e-t.
Betragt afbildningen f : W → C ∞(R) givet ved
f(x(t)) = x’’(t) − x’(t).
b) Find billedet ved f af den første funktion i spørgsmal a).
To do this, we simply put the function through f.
f(e-t+t) = e-t-(-e-t+1) = e-t-1
c) Vis at f er lineær.
To do this, we apply the regular methods for proving linearity to the depiction above.
First we try to add two different values within the depiction.
f(x1(t)+x2(t)) = (x1(t)+x2(t))’’-p(t)(x1(t)+x2(t))’ = x1’’(t) + x2’’(t) – (p(t)x1’(t) + p(t)x2’(t)) = f(x1(t) + f(x2(t)
Next we try to multiply the chosen value by a constant.
f(kx(t)) = kx(t)’’-p(t)kx(t)’ = kx’’(t)-kp(t)x’(t)
d) Angiv dimensionen af billedrummet f(W), og bestem kernen for f .
Her er jeg helt lost...
Svar #1
13. november 2017 af LeonhardEuler
a) Dit argument for cos(t) er ikke nok. Bare fordi du ved der en (kompleks) måde at skrive cosinus på, og du konstaterer, at det ikke er muligt her, så beviser det ikke at den ikke ligger i spannet. Antag for modstrid at cos(t) ligger i spannet, så kan cos(t) skrives som en linearkombination
cos(t) = a•t + b•et + c •e-t for reelle a,b,c
Prøv med at undersøge løsningensmængden til ligningssystemet med t = 0, π/2, π/4, π/6
Svar #3
13. november 2017 af LeonhardEuler
c) Det lette argument er at differentation er en lineær afbildning, sammensætning af lineær er lineær og ligeledes er summen af lineære er lineær.
Jeg forstår ikke dit bevis. Der opstår et tilfældigt "p(t)" - hvad er det? Hvis jeg ville vise det direkte, så vil jeg bevise at
f( a•x(t) + b•y(t) ) = a•f(x(t)) + b•f(y(t))
Svar #4
13. november 2017 af LeonhardEuler
d) Du ved at
dim(Im(f)) + dim(Ker(f)) = dim(W) = 3
hvor Im(f) er billedrummet og ker(f) er kernen. Kan du selv bestemme den ene af dem?
Svar #5
13. november 2017 af Icewing (Slettet)
Tak for Svar, det har helt sikkert hjulpet mig videre :-)
Skriv et svar til: Vektor - angiv dimensionen af billedrummet f(W)
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.