Matematik

Integrale uden hjælpemidler

18. november 2017 af aam99 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej!

Er der nogen der kan forklare mig, hvordan jeg finder integralet uden hjælpemidler?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2017-11-18 kl. 17.48.08.jpg

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. november 2017 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #2
18. november 2017 af StoreNord

Brugbart svar (0)

Svar #3
18. november 2017 af mathon

sæt
$\small u=x^2+1\text{ og dermed }\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$

og substituer
så du har
$\small \small \int (x^2+1)^5\cdot \, 2x\mathrm{d}x\; ...$

Svar #4
18. november 2017 af aam99 (Slettet)

Jeg er ikke helt med, kan du forklare yderligere?

Hvorfor substituer man?

Brugbart svar (0)

Svar #5
18. november 2017 af mathon

Man substituerer for at opnå en beregningsforenklende bekvemmelighed:

$\small \small \int 2x(x^2+1)^5\cdot \,\mathrm{d}x= \int (x^2+1)^5\cdot \, 2x\mathrm{d}x=\int u^5\mathrm{d}u=\tfrac{1}{6}u^6+k=\tfrac{1}{6}(x^2+1)^6+k$

...
$\small \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x^2+1)=2x$ $\small \text{En differentialkvotient - den f\o rste afledede - er b\aa de en funktion og en kvotient.}$

Svar #6
18. november 2017 af aam99 (Slettet)

Når, nu er jeg med. Tak for hjælpen!

Brugbart svar (0)

Svar #7
18. november 2017 af StoreNord

Og fordi man kan se at 2x er det samme, som når man har differentieret parentesen.

Brugbart svar (1)

Svar #8
18. november 2017 af swpply (Slettet)

Der er som udgangspunkt 3 oplagte (nogle mere end andre) hvorpå at du kan evaluere dette integral.

1) Integration ved substiuation, præcist som mathon gør i svar #3 og #5.

2) "Direkte", ved at skrive integraten som et 9 grads polynomium.

3) Gentagen brug af partial integration.

Som du hurtigt ville finde ud af, er fremgangsmåde 2) og 3) mere tidsomkostlige og "snørklet" end fremgangsmåde 1). Jeg vil illustere fremgangsmåde 2), sådan at du kan samlignge dette med fremgangsmåde 1) (som mathon udførligt har vist i svar #5).

$\begin{align*} \int2x(x^2+1)^5\,dx &= \int2x\sum_{n=0}^5{5 \choose n}\underbrace{(x^2)^n}_{x^{2n}}\underbrace{1^{5-n}}_{=1}\,dx \\ &= \int2x\sum_{n=0}^5{5 \choose n}x^{2n}\,dx \\ &= 2\sum_{n=0}^5{5 \choose n}\int x^{2n+1}\,dx \\ &=2 \sum_{n=0}^5{5 \choose n}\frac{x^{2n+2}}{2n+2} + k \\ &= \sum_{n=0}^5\frac{5!}{n!(5-n)!}\frac{(x^2)^{n+1}}{n+1} + k \\ &= \frac{1}{6}\sum_{n=0}^5\frac{6!}{(n+1)!(6-(n+1))!}(x^2)^{n+1} + k \\ &= \frac{1}{6}\sum_{n=0}^5{6 \choose n+1}(x^2)^{n+1} + k \\ &= \frac{1}{6}\sum_{n=0}^6{6 \choose n}(x^2)^n + C \\ &= \frac{1}{6}(x^2+1)^6 + C\end{align*}$

Hvor k = C + 1/6. Validiteten af første lighed følger ved binomial sætningen.

Du må selv prøve med fremgangsmåde 3), hvis du skulle havde løst. Men min pointe er, at du nok kan se at integration ved substiuation er meget mere bekvem end fremgangsmåde 2).

Svar #9
18. november 2017 af aam99 (Slettet)

Hvad så hvis jeg ønsker at bestemme et bestem integrale uden hjælpemidler?

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2017-11-18 kl. 17.48.10.jpg

Brugbart svar (1)

Svar #10
18. november 2017 af Mathias7878

Integrer 3x² og 10x hver for sig og find da:

$\small \int_{0}^{2}(3x^2-10x)dx = F(b)-F(a)$

- - -

Brugbart svar (0)

Svar #11
18. november 2017 af mathon

Brugbart svar (1)

Svar #12
18. november 2017 af mathon

$\small \int_{0}^{2}\left ( 3x^2-10x \right )\, \mathrm{d}x=\left [x^3-5x^2 \right ]_{0}^{2}=2^3-5\cdot 2^2-0=8-20=-12$

Svar #13
18. november 2017 af aam99 (Slettet)

Tak for hjælpen :)

Skriv et svar til: Integrale uden hjælpemidler

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.