Matematik

Tangentens ligning

14. december 2017 af Mathian - Niveau: B-niveau

Differentialkvotienten af en funktion skal udledes. Derudover skal du udlede formlen for en tangentligning.

Har valgt at bevise f'(x) = x^2 via tretrinsreglen. Skal jeg udlede tangentligning-formlen ud fra denne funktion eller bare generelt? Håber nogen kan hjælpe?

Brugbart svar (1)

Svar #1
14. december 2017 af Mathias7878

Generelt. Du kan finde beviset for den på google.

- - -

Svar #2
14. december 2017 af Mathian

Merci

Brugbart svar (1)

Svar #3
14. december 2017 af Mathias7878

Men jeg har da lige lyst til at bevise den:

Vi ønsker at bevise, at tangentens ligning kan findes vha. formlen

$\small y = f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f(x_0)$

igennem punktet

$\small (x_0,f(x_0))$

VI ved, at tangentens ligning er en lineær funktion på formen

$\small y = ax+b$

Fra differentialregning vides det, at differentialkvotienten f'(x) er lig med tangentens hældning, dvs. a i den lineære funktion. Vi kan da erstatte a med f'(x₀). Vi har:

$\small y = f'(x_0)\cdot x+b$

Vi ved, at tangentens ligning skal gå igennem punktet (x₀,f(x₀)). Det kan vi erstatte med x og y i den lineære funktion. Vi får:

$\small f(x_0 )= f'(x_0)\cdot x_0+b$

Vi ønsker nu at isolere b. Dette kan vi gøre ved at trække f'(x₀)*x fra på begge sider:

$\small b = f(x_0) - f'(x_0)\cdot x_0$

VI bytter dog lidt rundt om på rækkefølgen, hvilket vi gerne må, da vi ikke ændrer nogle fortegn:

$\small b = -f'(x_0)\cdot x_0+f(x_0)$

Vi kan da erstate både a og b i den lineære funktion med de to nye udtryk, vi har fundet frem til. Vi har:

$\small y = f'(x_0)\cdot x -f'(x_0)\cdot x_0+f(x_0)$

hvilket kan faktoriseres til

$\small y = f'(x_0)\cdot (x-x_0)+f(x_0)$

hvilket netop var det, vi ønskede at bevise.

Værsgo! :-)

- - -

Brugbart svar (1)

Svar #4
14. december 2017 af Mathias7878

Men nu må jeg hellere gå i seng. Jeg skal jo også være i stand til at stå op i morgen tidlig :-)

- - -

Svar #5
14. december 2017 af Mathian

Tak mate, det var stort af dig. Sov godt!

Skriv et svar til: Tangentens ligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.