Matematik

3D-vektor, Kugle HASTER!!!

22. februar 2018 af pokemonorm - Niveau: A-niveau

Hejsa kære SP brugere!
Jeg har fået denne opgave, som jeg ikke lige helt kan gennemskue.

"Planerne $\alpha$ og $\beta$ er begge tangentplanter til en kugle K. Kuglens centrum og den røringspunkter med $\alpha$ og
$\beta$ og punktet P ligger på en ret linje.

Bestem en ligning for Kuglen K.

Disse ting kendes på forhånd:
Planen $\alpha$ ligning: 2x-2y+z+2=0
Planen $\beta$ ligning: 4x-4y+2z-8=0
Jeg har også bestemt radius til 1.
Punktet P's koordinatsæt er P(5,-1,4)

Tak på forhånd

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. februar 2018 af fosfor

For at komme fra P til kuglens centrum, skal du bevæge dig fra P i retning af en normalvektor for planerne (som er parallelle).

En normalvektor er (2,-2,1).

Dvs. for et passende tal, t, er centrum lig
(5,-1,4) + t * (2,-2,1)

Regn f.eks. afstanden fra begge planerne til punktet (-5 + 2t, -1 - 2t, 4 +1t)

Sæt dem lig hinanden (da centrum ligger lige langt fra begge planer) og isoler t.

Brugbart svar (0)

Svar #2
22. februar 2018 af AMelev

Når centrum C også ligger på linjen gennem rørinspunkterne og P, kan du bestemme parameterfremstillingen for denne linje, idet retningsvektoren er normalvektor til planerne (som er parallelle, så det er ligegyldigt, hvilken af dem, du vælger) og du kender punktet P.

Så kan du bestemme røringspunkterne koordinater som skæring mellem linjen og planerne.

Centrum for cirklen må være midtpunktet mellem de to røringspunkter, og radius er den halve afstand mellem røringspunkterne.

Brugbart svar (0)

Svar #3
22. februar 2018 af mathon

Gennemføres anvisningerne i #2
får man cirkelligningen:

$\small \left (x-\tfrac{5}{3} \right )^2+\left (y-\tfrac{7}{3} \right )^2+\left (z-\tfrac{7}{3} \right )^2=3^2$

Brugbart svar (0)

Svar #4
23. februar 2018 af mathon

$\small \small \textup{detaljer fra }\#1\textup{ og }\#2\textup{:}$
$\small \textup{en parameterfremstilling for linjen gennem r\o ringspunkterne og P(5,-1,4)}$
$\small \textup{er:}$

$\small \begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\-1 \\ 4 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 2\\-2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\small \textup{sk\ae ringspunkter med kuglen:}$

solve(x=5+2t and y=-1-2t and z=4+t and 2x-2y+z+2,{t,x,y,z})

$\small t_1=-2$ $\small S_1=(1,3,2)$

solve(x=5+2t and y=-1-2t and z=4+t and 2x-2y+z-4,{t,x,y,z})

$\small t_2=-\tfrac{4}{3}$ $\small S_2=\left ( \tfrac{7}{3},\tfrac{5}{3},\tfrac{8}{3} \right )$

$\small \textbf{Beregning af centrum C's koordinater:}$

$\small C=\left ( \tfrac{1+\tfrac{7}{3}}{2},\tfrac{3+\tfrac{5}{3}}{2},\tfrac{2+\tfrac{8}{3}}{2} \right )=\left ( \tfrac{5}{3},\tfrac{7}{3},\tfrac{7}{3} \right )$

$\small \small \textbf{Beregning af radius:}$

$\small \sqrt{\left (1-\tfrac{5}{3} \right )^2+\left (3-\tfrac{7}{3} \right )^2+\left (2-\tfrac{7}{3} \right )^2}=1$

Brugbart svar (0)

Svar #5
23. februar 2018 af mathon

$\small \textup{hvorfor }\#3\textup{ \textbf{korrigeres} til:}$

Gennemføres anvisningerne i #1 og #2
får man cirkelligningen:

$\small \left (x-\tfrac{5}{3} \right )^2+\left (y-\tfrac{7}{3} \right )^2+\left (z-\tfrac{7}{3} \right )^2=1$

Brugbart svar (0)

Svar #6
23. februar 2018 af mathon

korresponderende med
https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1811390

Skriv et svar til: 3D-vektor, Kugle HASTER!!!

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.