Matematik

Beregn halveringstiden

16. marts 2018 af petbau - Niveau: B-niveau

Hej

Jeg sidder med en opgave i matematik B-niveau, der omhandler fysik og kemi. Jeg får oplyst at stoffet Americum-241 har en halveringstid på 432,7 år (jeg bliver bedt om at regne uden enheder, idet det underforstås at tiden regnes i år). Jeg har brug for en venlig sjæl til at tjekke mine beregninger og tanker (eller mangel på samme) for at se, om jeg gør det rigtigt.

a) Beregn henfaldskonstanten. Jeg benytter den oplyste formel:

$k = \frac{ln2}{T_{1/2}}$

$k = \frac{ln2}{432,7}$

k = 0,001602

Dernæst lyder opgaven: Der er $7,3*10^{14}$ radioaktive kerner i kilden til starttidspunktet.

b) Opskriv regneforskriften for antallet af Americum-kerner som funktion af tiden på formlen

$N(t) = N_{0}*e^{-k*t}=$ $7,3*10^{14}*e^{-0,001602*t}$

c) Hvor mange kerner er der tilbage efter 100 år?

$7,3*10^{14}*e^{-0,001602*100}=$ 6,21941 E14

Er 6,21941 E 14 = 621.941.000.000.000

d) Hvor mange % af kernerne er tilbage efter 1000 år?

Efter 1000 år er der: $N(1000)=7,3*10^{14}*e^{-0,001602*1000}=$ 1,4709E14

$\frac{1,4709E14}{6,21941E14}=0,201493$

Dvs. der er 20 % af kernerne tilbage

Brugbart svar (1)

Svar #1
16. marts 2018 af mathon

$\small \small \textup{Halveringstiden har du jo, s\aa \ den skal ikke beregnes - jvf. din \textbf{overskrift}.}$
$\small \textup{Forenklet:}$
$\small N=N_0\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}=N_0\cdot\left ( \left ( \frac{1}{2} \right )^\frac{1}{T_{\frac{1}{2}}} \right )^t=N_0\cdot\left ( \left ( \frac{1}{2} \right )^\frac{1}{432{.}7} \right )^t=N_0\cdot 0{.}998399^{\; t}$

$\small \textup{Efter 1000 \aa r:}$

$\small \frac{N}{N_0}\cdot 100\%=100\%\cdot 0{.}998399^{\, 1000}=20{.}1511\%$

$\small \textup{Din beregning er OK og den kan du forsvare/forklare, hvis \textbf{det} skulle blive kr\ae vet af dig.}$

$\small \textup{Min tilf\o jelse er lidt kortere.}$
$\small \small \textup{Du v\ae lger naturligvis selv, hvad der for dig er bedst/lettest forst\aa eligt.}$

Svar #2
16. marts 2018 af petbau

Det er bare fornemt. Jeg kan ikke bryste mig af, at have det store overblik, så det er en meget stor hjælp.

Mht. store tal, er det så korrekt at 6,2 er 6 efterfulgt af 14 tal

Brugbart svar (1)

Svar #3
16. marts 2018 af mathon

...er det så korrekt at 6,2 er 6 efterfulgt af 14 tal?

$\small 6{.}2\cdot 10^{14}=620'000'000'000'000\textup{ ville da v\ae re fjollet at skrive, n\aa r man nu netop \textbf{har} indf\o rt den videnskabelige skrivem\aa de}$ $\small \textup{som en lettelse i et s\aa dant "stortalstilf\ae lde".}$

$\small \textup{Du kan evt. anvende ingeni\o rnotation og skrive }620\cdot 10^{12}.$ $\small \textup{(620 billioner)}$

Svar #4
16. marts 2018 af petbau

Ja, det kan jeg godt se.

Brugbart svar (0)

Svar #5
16. marts 2018 af mathon

$\small \textup{detaljer:}$

$\small T_{\frac{1}{2}}=\frac{\ln\left ( \frac{1}{2} \right )}{-k}$

$\small -k=\frac{\ln\left ( \frac{1}{2} \right )}{T_{\frac{1}{2}}}$

$\small \textup{og}$
$\small N(t)=N_0\cdot e^{-k\cdot t}$

$\small N(t)=N_0\cdot e^{\frac{\ln\left ( \frac{1}{2} \right )}{T_{\frac{1}{2}}}\cdot t}$

$\small N(t)=N_0\cdot \left (e^{\ln\left ( \frac{1}{2} \right )} \right )^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}$

$\small N(t)=N_0\cdot \left (\frac{1}{2} \right )^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}$

Svar #6
16. marts 2018 af petbau

Tak for detaljerne. Det er nok lidt for avanceret for mig, men jeg prøver dagligt at lære lidt. Tit strander jeg på noget basalt algebra. Hvorom alting er, så håber jeg, at jeg kan oparbejde min matematiske forståelse lidt.

Det er i hvert fald en hjælp, at jeg får svar, når jeg sidder fast.

Skriv et svar til: Beregn halveringstiden

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.