Matematik

Abelske grupper / Abstract Algebra

05. april 2018 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude.
Jeg prøver at regne en gammel eksamensopgave, som jeg ikke kan.
Vil gerne høre fra jer derude, som har en ide om opgaven.
Opgaven lyder:

I denne opgave lader vi $Z_n$ betegne den cykliske gruppe af orden $n$ , skrevet multiplikativt, når $n \in \mathbb{N}$

Lad $A = Z_{45} \times Z_{24} \times Z_{6}$ og $B = Z_{18} \times Z_{30} \times Z_{12}$ som begge er abelske grupper
af orden $6480 = 2^4 \cdot 3^4 \cdot 5$

Spørgsmål 1)
Vis, at grupperne A og B ikke er isomorfe ved at beregne deres elementardivisorer.
Dette spørgsmål kan jeg, og det er
$A \cong Z_{2^3} \times Z_{2} \times Z_{3^2}\times Z_{3} \times Z_{3}\times Z_{5}$
Elementardivisor for A er: $2^3,2,3^2,3,3,5$
Invariantfaktorer for A er: $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5, 2 \cdot 3, 3$

$B \cong Z_{2^2} \times Z_{2} \times Z_{2}\times Z_{3^2} \times Z_{3}\times Z_{3} \times Z_{5}$
.Elementardivisor for B er: $2^2,2,2,3^2,3,3,5$
Invariantfaktorer for B er: $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5, 2 \cdot 3, 2 \cdot 3$
Da invariantfaktorer er forskellige, så er A og B ikke isomorfe ifølge sætning.

Spørgsmål 2)
Vis at A og B har det samme antal elementer af orden 3 og angiv dette antal.
Desværre kan jeg løse spørgsmål 2.

Vil nogen derude hjælpe med at løse opgaven?
På forhånd tak

Skriv et svar til: Abelske grupper / Abstract Algebra

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.