Matematik

Cirkeltangentens ligning

01. august 2018 af Jens1901 - Niveau: A-niveau

Hej allesammen. Er der nogen, der kan hjælpe med følgende opgave?

b) Bestem en ligning for tangenten til cirklen i punktet P (5,5)

Hvordan gør jeg?

Jeg har fundet hældningen a = 3/4, men jeg ved ikke, hvordan jeg skal komme videre ...

Brugbart svar (0)

Svar #1
01. august 2018 af Soeffi

#0 Du skal kende centrum C. Dernæst benyttes, at vektoren CP er normalvektor til tangenten, og at P ligger på tangenten.

Brugbart svar (0)

Svar #2
01. august 2018 af mathon

$\small \textbf{cirkelligning:}$
$\small \left ( x-a \right )\left ( x-a \right )+\left ( y-b \right )\left ( y-b \right )=r^2$

$\small \textbf{tangentligning i (5,5):}$
$\small \left ( 5-a \right )\left ( x-a \right )+\left ( 5-b \right )\left ( y-b \right )=r^2$

$\small y=-\frac{5-a}{5-b}x+\left (\frac{r^2+(5-a)\cdot a}{5-b}+b \right )$

Brugbart svar (0)

Svar #3
01. august 2018 af mathon

Du kender vel centrums koordinater (a,b) og radius r.

Brugbart svar (0)

Svar #4
01. august 2018 af Eksperimentalfysikeren

Hvis du har fundet a=3/4, så kan du jo indsætte P's koordinater, da P ligger på tangenten. Så kan du finde b.

Brugbart svar (0)

Svar #5
01. august 2018 af StoreNord

Hvem siger egentlig, det skal være en tangent-ligning?
Måske spørges der bare om ligningen for en linje med hældningen 3/4, og som går gennem P(5,5).

$\\f(x) = ax+b \Leftrightarrow \\f(x) =\frac{3}{4}x+b \\f(5) =\frac{3}{4}\cdot 5+b=5\Leftrightarrow \\f(x) =15+4b=20 \\b=\frac{20-15}{4}=\frac{5}{4} \\Ergo \; er\; f(x)=\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$ Så kan vi være ligeglade med cirklen. :-)

Brugbart svar (0)

Svar #6
04. august 2018 af mathon

$\small \begin{array}{lcl} \textup{hvis} & a=\tfrac{3}{4}\textup{ er korrekt} & saa\; \#5 \\ \textup{ellers} & & \; \; \; \; \; \; \#2 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
04. august 2018 af mathon

$\small \#2\textup{ i detaljer:}$
$\small \textup{En parameterfremstilling for cirklen med centrum i (0,0):}$

$\small x^2+y^2=r^2$
$\small \textup{er:}$
$\small f(t)=\begin{pmatrix} x(t)\\ y(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r\cdot \cos(t)\\ r\cdot \sin(t) \end{pmatrix}$

$\small f{\, }'(t)=\begin{pmatrix} x{\, }'(t)\\ y{\, }'(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -r\cdot \sin(t)\\ r\cdot \cos(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -y\\ x \end{pmatrix}$ $\small \textup{som er tangentens retningsvektor.}$
$\small \textup{En normalvektor for tangenten i }P_o(x_o,y_o)\textup{ er derfor}$

$\small \overrightarrow{n}=\begin{pmatrix} x_o\\y_o \end{pmatrix}$

$\small \textup{og tangentligningen i }P_o,$
$\small \textup{n\aa r P(x,y)er et variabelt punkt p\aa \ tangenten:}$

$\small \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{P_oP}=0$

$\small \begin{pmatrix} x_o\\y_o \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-x_o\\y-y_o \end{pmatrix}=0$

$\small x_ox-y_oy=r^2$

$\small \textup{ som n\aa r centrum er parallelforskudt over i C(a,b)}$
$\small \textup{har ligningen:}$
$\small (x_o-a)(x-a)-(y_o-b)(y-b)=r^2$

Brugbart svar (0)

Svar #8
05. august 2018 af mathon

tegnkorrektion i #7:
$\small \small x_ox{\color{Red} +}y_oy=r^2$

$\small \small (x_o-a)(x-a){\color{Red} +}(y_o-b)(y-b)=r^2$

Skriv et svar til: Cirkeltangentens ligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.