Matematik

Tricky række

22. august 2018 af anonym000 - Niveau: Universitet/Videregående

Opgaven går ud på at finde ud af om denne række

$\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( n + 3 ) ( n + 4 ) }$

er konvergent. Hvis det er tilfældet skal man finde summen.

Metode 1

Denne metode kræver kendskab til konvergensforhold for rækken

$\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ( n + 1 ) }$

som har summen 1.

Jeg regner

$\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( n + 3 ) ( n + 4 ) } = \sum _ { n = 4 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ( n + 1 ) } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ( n + 1 ) } - \sum _ { n = 1 } ^ { 3 } \frac { 1 } { n ( n + 1 ) } =$

$1 - \frac { 1 } { 1 \cdot 2 } - \frac { 1 } { 2 \cdot 3 } - \frac { 1 } { 3 - 4 } = \frac { 1 } { 4 }$

Metode 2

I denne metoder kræves der ikke kendskab til rækken nævnt ovenover.

$\sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { ( n + 3 ) ( n + 4 ) } = \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { n + 3 }-\frac { 1 } { n + 4 } = \frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 } { 5 } + \frac { 1 } { 5 } - \frac { 1 } { 6 } +\frac { 1 } { 6 }+...+\frac { 1 } { N }-\frac { 1 } { N } = \frac { 1 } { 4 }+...+\frac { 1 } { N }-\frac { 1 } { N }$

Hvis jeg lader N gå mod uendelig går afsnitsummen

$S_N \rightarrow \frac { 1 } { 4 }$

Kunne godt tænke mig at få lidt feedback.

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. august 2018 af guuoo2 (Slettet)

Afsnitsummen i 2'eren er 1/4 - (N+4)^-1:

$\\\sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { ( n + 3 ) ( n + 4 ) } = \sum _ { n = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { n + 3 }-\frac { 1 } { n + 4 } =\\\text{ }\hspace{3.5cm} \frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 } { 5 } + \frac { 1 } { 5 } - \frac { 1 } { 6 } +\frac { 1 } { 6 }+...+\frac { 1 } { N{\color{Red} +3} }-\frac { 1 } { N{\color{Red} +4} } =\\\text{ }\hspace{3.4cm} \frac { 1 } { 4 }-\frac { 1 } { N+4 }$

Svar #2
22. august 2018 af anonym000

Oh, ja. har da også skrevet det på papiret!

Næ... den skal jeg lige tænke lidt mere over.

Hvordan kommer du fra den øverste linje i

$\left. \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 } { 5 } + \frac { 1 } { 5 } - \frac { 1 } { 6 } + \frac { 1 } { 6 } + \ldots + \frac { 1 } { N + 3 } - \frac { 1 } { N + 4 } = } \\ { \frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 } { N + 4 } } \end{array} \right.$

til den nederste linje?

- - -

...............

Brugbart svar (0)

Svar #3
22. august 2018 af peter lind

1 metode: der skal stå 1/(3*4) i det sidste led i summen før det sidste lighedstegn. Det er formodentlig bare en skrivefejl

2. metode: rækken skal ende med 1/(N+2) - 1/(N+3) + 1/(N+3) - 1/(N+4) så afsnitsummen bliver 1/4-1/(N+4)

Svar #4
22. august 2018 af anonym000

#3
1 metode: der skal stå 1/(3*4) i det sidste led i summen før det sidste lighedstegn. Det er formodentlig bare en skrivefejl

2. metode: rækken skal ende med 1/(N+2) - 1/(N+3) + 1/(N+3) - 1/(N+4) så afsnitsummen bliver 1/4-1/(N+4)

Kan se begg pointer

- - -

...............

Brugbart svar (0)

Svar #5
22. august 2018 af AskTheAfghan

Hvordan er det en "tricky række"? Du skrev om en række "som har summen 1". Men du har ikke vist det. Hvis du havde vist det, vil du indse, at de to metoder er ækvivalente.

Svar #6
22. august 2018 af anonym000

#5
Hvordan er det en "tricky række"? Du skrev om en række "som har summen 1". Men du har ikke vist det. Hvis du havde vist det, vil du indse, at de to metoder er ækvivalente.

Denne rækkes sum var givet i opgaven. Dvs. det er et resultat vi måtte bruge udenvidere.

- - -

...............

Skriv et svar til: Tricky række

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.