Divergensen af en følge

Den behøver ikke at gå mod noget som helst eks,   3, 4, 3, 4 ...

#1 Tak for modeksemplet. Hvad nu hvis (a_n) var voksende? Betragt en følge S_n = Σ_i=1ⁿ a_n, hvor (a_n) er en følge af positive tal. Hvis man antager, at (S_n) divergerer, medfører det alligevel ikke, at (S_n) går mod +∞? I så fald, hvorfor?

Lad M>0 være det mindste tal (eller uendelig), så S_n ≤ M for alle n. Dvs. M = sup S_n.
Hvis M = ∞ så er der ikke mere at vise, da S_n er voksende.

Ellers antag at S_n ikke konvergerer mod M og vis den modstrid at så er sup S_n < M.
Modstriden betyder at S_n må konvergere, hvis ikke den divergerer mod ∞.

Så må den gå mod uendelig. Hvis den ikke gjorde det det vil der være er eller andet tal som summen vil være mindre end. Det kaldes et overtal. Der vil også være et mindste overtal kaldet supremum. Du kan komme lige så tæt på sådan et overtal som du ønsker, altså vil supremum være grænseværdien for summen

#3, 4 Lad os skrive S_∞ i stedet for Σ_i=1^∞ a_n. Hvis følgen (S_n) er begrænset, findes supremum af S_n, ellers er S_∞ = ∞. Jeg ved ikke helt hvad jeg skal bruge det til, da jeg føler det er inkonsistent.

[Jeg forstår godt, at en konvergent følge er begrænset, så må det kontraponerede udsagn være, at en ubegrænset følge divergerer. Men at en følge divergerer, medfører det ikke nødvendigvis, at den er ubegrænset, for eksempel -1, 1, -1, 1, ...]

Før vi kommer til rækken, kan vi ikke vende tilbage til hovedspørgsmålet "Hvis (a_n) er en voksende følge af positive tal og divergerer, så divergerer den mod +∞", og give et bevis? Det vil være en stor hjælp.

Ja en voksende følge (a_n) som ikke konvergerer (divergerer) går mod uendeligt. Følgen behøver ikke, at bestå af positive tal. Umiddelbart ville jeg nok vise, at hvis en voksende følge (a_n) er begrænset så konvergerer den (med grænsepunkt sup_n a_n)

Bevis

Antag (a_n) er en begræsnet voksende følge og sæt S = sup_n a_n. Bemærk at følgen er begrænset så S < +∞. Lad e > 0 være givet. Da S er det mindste overtal for (a_n) og S - e < S så er S - e ikke et overtal for (a_n) hvorfor der findes et k så a_k > S - e og da (a_n) er voksende så er S - e < a_k ≤ a_m ≤ S for all m ≥ k. Dvs. (a_n) kovergerer mod S.