Matematik

Ulighed ifm. Taylors sætning

01. september 2018 af anonym000 - Niveau: Universitet/Videregående

Hvordan finder jeg N i

$\frac { e ^ { 2 } } { ( N + 1 ) ! } 2 ^ { N + 1 } \leq 0.015$

Jeg kan selvfølgeligt prøve mig frem med forskellige værdier for N. Jeg tænker om der ikke er en mere analytisk metide at løse det på?

Brugbart svar (1)

Svar #1
01. september 2018 af swpply (Slettet)

Ja, brug følgende ulighed

$\forall n\in\mathbb{N}\ :\ \frac{2^n}{n!}\leq2^n$

Svar #2
01. september 2018 af anonym000

Tak.

- - -

...............

Brugbart svar (0)

Svar #3
01. september 2018 af swpply (Slettet)

Du er velkomen :-)

Har du iøvrigt set mit svar til din forrige tråd??
Det virker nemlig til at du har misforstået hvad delopgave (iv) spørger om.

Svar #4
01. september 2018 af anonym000

Jeg kommer til at kigge på den i dag :D

- - -

...............

Brugbart svar (0)

Svar #5
01. september 2018 af swpply (Slettet)

Det er helt super ;-)

Skriv endelig hvis du skulle havde nogen spørgsmål.

Brugbart svar (0)

Svar #6
01. september 2018 af swpply (Slettet)

Du beviser iøvrigt uligheden ved induktion i n.

Svar #7
01. september 2018 af anonym000

#6
Du beviser iøvrigt uligheden ved induktion i n.

Jeg ved ikke helt hvad det betyder. Jeg læser på DTU, hvor man smækker beviserne i appendeks. Beviserne er ikke pensum. Jeg vil ønske at man kig mere op i det så man vidste "hvor tingene kom fra".

Jeg tænke på at bruge

$e ^ { 2 } 2^{N+1}\leq 0.015$

Til at finde N. (?)

- - -

...............

Brugbart svar (0)

Svar #8
01. september 2018 af swpply (Slettet)

Kannon, DTU er også er skønt sted har jeg ladet mig fortælle af venner der har studeret der.

Så vil jeg nok anbefale at du laver et plot som understående

for at understøtte gyldigheden af uligheden.

Jeg tænke på at bruge

$e ^ { 2 } 2^{N+1}\leq 0.015$

Til at finde N. (?)

Det er præcist også hvad jeg ville gøre.

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2018-09-01 kl. 13.43.06.png

Brugbart svar (0)

Svar #9
01. september 2018 af swpply (Slettet)

Et formelt bevis af uligheden vil være fælgende:

SÆTNING: lad n værre et naturligtal (tælletal), da gælder uligheden

(1) $\frac{2^n}{n!}\leq2^n$ .

Bevis.

Basis skridt (n=1):

$\frac{2^1}{1!} = 2 \leq2^1 = 2$ ,

altså er sætningen korrekt for n = 1.

Induktionsskridtet, antag at sætningen er sand for n = m og vis at dette implicere at sætningen også er sand for m+1.

$\begin{align*} \frac{2^{m+1}}{(m+1))!} &= \frac{2}{m+1}\frac{2^m}{m!} \\ &\leq\frac{2}{m+1}2^m \\ &\leq 2\cdot2^m \\ &= 2^{m+1} \end{align*}$ ,

hvor første ulighed følger at induktions antagelsen og anden ulighed følger af 1/n ≤ 1 for n = 1,2,3,....

Dette var hvad vi skulle vise. Q.E.D.

Svar #10
01. september 2018 af anonym000

Aha, okay.

Tak.

- - -

...............

Svar #11
02. september 2018 af anonym000

Dette gav meget god mening i går nu forstår er der nogle ting jeg ikke forstår.

Hvad er argumentet for at man kan komme fra

$\frac { e ^ { 2 } } { ( N + 1 ) ! } 2 ^ { N + 1 } \leq 0.015$

Til

$e ^2 2 ^ { N + 1 } \leq 0.015$

Jeg forstår ikke helt uligheder. Jeg kan godt regne med det mekanisk, men det er så også det :D

Har ikke fået forudsætninger for at forstå uligheder i det pågældende kursus jeg tager.

- - -

...............

Svar #12
02. september 2018 af anonym000

Jeg får N til

$e ^ { 2 } 2 ^ { N + 1 } \leq 0.015$

$N \le \log_2 (0.015/ e^2) -1$

- - -

...............

Brugbart svar (0)

Svar #13
02. september 2018 af swpply (Slettet)

#11
Dette gav meget god mening i går nu forstår er der nogle ting jeg ikke forstår.

Hvad er argumentet for at man kan komme fra

$\frac { e ^ { 2 } } { ( N + 1 ) ! } 2 ^ { N + 1 } \leq 0.015$

Til

$e ^2 2 ^ { N + 1 } \leq 0.015$

Jeg forstår ikke helt uligheder. Jeg kan godt regne med det mekanisk, men det er så også det :D

Har ikke fået forudsætninger for at forstå uligheder i det pågældende kursus jeg tager.

Du skal argumentere fra den modsatte retning "so to speak".

Antag at du har valgt et N, således at

$e^2 2^{N+1}\leq0.015.$

Da følger det at

$\frac{e^2}{(N+1)!}2^{N+1}\leq0.015,$

eftersom at vi har vist at der for alle N = 1,2,3,.... gælder at

$\frac{e^2}{(N+1)!}2^{N+1}\leq e^2 2^{N+1}$ .

Jeg håber at det hele giver mening nu ;-) Ellers er du velkomen til at skrive.

Skriv et svar til: Ulighed ifm. Taylors sætning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.