Matematik

2 komposanter

16. september 2018 af Yipikaye - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg har 2 komposanter her

$\sigma(t) =\varepsilon _{0}*E^{'}*sin(\omega t)+\varepsilon _{0}*E^{''}*cos(\omega t)$

$\varepsilon (t)=\varepsilon _{0}*sin(\omega t)$

Jeg isolerer derefter tiden t i anden ligning og får følgende udtryk

$t=\frac{sin^{-1}(\frac{\varepsilon }{\varepsilon _{0}})}{\omega }$

Dette udtryk indsætter jeg så på t´s plads i den første ligning hvorefter følgende udtryk haves

$\sigma(\varepsilon ) =\varepsilon _{0}*E^{'}*sin(\frac{\omega* sin^{-1}(\frac{\varepsilon }{\varepsilon _{0}})}{\omega })+\varepsilon _{0}*E^{''}*cos(\frac{\omega *sin^{-1}(\frac{\varepsilon }{\varepsilon _{0}})}{\omega })$

Til sidst får jeg følgende

$\sigma (\varepsilon )=E^{'}*\varepsilon +E^{''}*\varepsilon$

Men jeg kan ikke få det sidste udtryk til at give mening i og med at det lille e optræder to gange i funktionens forskrift med mindre man skriver følgende i stedet

$\sigma (\varepsilon )=E^{'}*\varepsilon _{y} +E^{''}*\varepsilon _{x}$

Det sidste udtryk synes jeg et eller andet sted giver mening. Kan jeg ikke få en be eller afkræftelse på om hvorvidt det sidste udtryk er rigtigt.

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. september 2018 af swpply (Slettet)

Jeg er enig i at

$\sigma(\varepsilon) = \big(E^\prime + E^{\prime\prime})\cdot\varepsilon$

Men for at jeg be- eller afkræfte hvorvidt dette giver mening, må du fortælle mig hvad $\varepsilon, E^\prime, E^{\prime\prime},\text{ og } \sigma(\varepsilon)$ symbolisere.

Brugbart svar (1)

Svar #2
16. september 2018 af Eksperimentalfysikeren

Du har en fejl i ligningen

$\sigma (\varepsilon )=E'*\varepsilon + E''*\varepsilon$ .

Det sidste med er ikke korrekt. cos(sin^-1(ε)) er ikke ε.

Brugbart svar (1)

Svar #3
16. september 2018 af Eksperimentalfysikeren

Jeg kan ikke se, hvor du vil hen med udregningerne. Det ser for mig ud som om du er på vildspor.

I den oprindelige ligning kan ωt antage vilkårlige værdier. Det kan ε ikke. Derfor vil σ(ε) ikke kunne antage alle de værdier, som σ(t) kan antage.

Kan du ikke beskrive, hvad du regner på. Hvor vil du hen med udregningerne? Hvor kommer udtrykkene fra?

Svar #4
17. september 2018 af Yipikaye

Hej igen.

Undskyld at jeg først skriver tilbage nu, men jeg har haft lidt travlt.

Først vil jeg gerne forklare hvad de forskellige størrelser er.

$\sigma$ er den mekaniske spænding og måles typisk i MPa eller GPa.

$\varepsilon$ er tøjningen som er enhedsløs og som defineres på følgende måde.

$\varepsilon =\frac{l_{2}-l_{1}}{l_{o}}$

$t$ er tiden.

$\omega$ er vinkelfrekvensen.

$E^{'}$ er the elastic modulus/storage modulus/real modulus (kært barn har mange navne)

$E^{''}$ er the viscous modulus/loss modulus/imaginary modulus

Hvad angår evt. fejl i ligningen, så kan jeg kunne finde den fejl at plusset skulle have været erstattet af et minus tegn. Således at der kommer til at stå følgende.

$\sigma (\varepsilon )=E^{'}*\varepsilon-E^{''}*\varepsilon$

Det som jeg nok ville med udregningerne var at kunne bestemme de 2 konstanter nemlig

$E^{'}$ og $E^{''}$ på en alternativ måde end brugen af nedestående formler.

$E^{'}=\frac{\sigma ^{o}}{\varepsilon ^{o}}=\frac{f_{o}}{bk}*cos(\rho )$

Tilsvarende

$E^{''}=\frac{\sigma ^{o}}{\varepsilon ^{o}}=\frac{f_{o}}{bk}*sin (\rho )$

Brugbart svar (0)

Svar #5
17. september 2018 af Eksperimentalfysikeren

Problemet er, at i den oprindelige ligning er ledene med E' og E'' ikke i fase. Hvis du vil regne om til at have ε som uafhængig variabel, skal du udtrykke cos ved sin. Hertil benytter du: cos²(v) + sin²(v) = 1. Isolerer du cos(v) her, får du:

$cos(v)=\pm \sqrt{1-sin^{2}(v)}$ .

Derfor får du:

$\sigma (\varepsilon )=E'*\varepsilon \pm E''*\sqrt{1-\varepsilon ^{2}}$

Svar #6
18. september 2018 af Yipikaye

Hej igen

Det er rigtigt hvad du siger at i den oprindelige ligning er ledene med $E^{'}$ og $E^{''}$ ikke i fase. Phase-anglen ligger mellem 0 og 90 grader.

Men af ren og skær nysgerrighed hvordan kan du se det alene ud fra den oprindelige ligning?

Derudover kunne jeg godt tænke mig at vide hvilken løsning er den rigtige i udtrykket

$\sigma (\varepsilon)=E^{'}*\varepsilon\pm E^{''}*\sqrt{1-\varepsilon ^{2}}$

Eftersom der er tale om loss modulus, altså et tab af energi. Så må det være minus i stedet for plus?

Altså....

$\sigma (\varepsilon)=E^{'}*\varepsilon\ - E^{''}*\sqrt{1-\varepsilon ^{2}}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
19. september 2018 af Eksperimentalfysikeren

Der er ikke tale om et rigtigt og et forkert udtryk. I ét tidsinterval gælder + og i et andet tidsinterval -. Pointen er, at sinusfunktionen ikke er injektiv, så du kan kun benytte dens inverse i intervallet [-π/2;π/2] svarende til tidsintervallet tidsintervallet [-T/4;T/4]. Når t>T/4 går det galt.

Hvis du tegner (ε(t),σ(t)) i et koordinatsystem, vil du få en elipse. Der er derfor ikke nogen entydig sammenhæng mellem ε og σ.

Jeg er ikke helt klar over, hvad dit udgangspunkt er. Har du en måling af σ(t) for et givet ε(t)? Hvis du har det, kan du gange ligningen for σ(t) igennem med sin(ωt) og integrere over en periode, f.eks. 0 til T. Derved forsvinder leddet med cos(ωt) og du får en ligning, der kun indeholder E'. Går så det samme med cos(ωt) og få en ligning med E''.

Det benytter, at:

$\int_{0}^{2\pi }sin^{2}(v)dv = \int_{0}^{2\pi }cos^{2}(v)dv=\pi$

$\int_{0}^{2\pi }sin(v)cos(v)dv = 0$

Brugbart svar (0)

Svar #8
19. september 2018 af Eksperimentalfysikeren

En alternativ løsningsmetode vil være at benytte t-værdierne 0 og T/4. Den første bevirker, at sin(ωt) bliver 0 og cos(ωt) bliver 1. Heraf får du σ(0) = ε₀*E'' og σ(T/4) = ε₀*E'. (T er periodetiden)

Skriv et svar til: 2 komposanter

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.