Matematik

ligningen f(x)=0

23. september 2018 af sajana - Niveau: Universitet/Videregående

er der en herinde der kan hjælpe mig i gang med denne opgave 
f(x)=2/x-(2*cos(x)/(sin(x))
Bevis at ligningen f(x)=0 ikke har nogen løsninger i (0,pi) og at den præcis har en løsning i (pi,2phi).


Brugbart svar (1)

Svar #1
23. september 2018 af mathon

                \small f(x)=\frac{2}{x}-\frac{2\cos(x)}{\sin(x)}

                \small \small f(x)=\frac{2}{x}-\frac{2}{\tan(x)}\qquad x\neq 0

                \small \small \small f(x)=0\qquad \textup{kr\ae ver }x=\tan(x)\qquad \textup{hvilket kun et tilf\ae ldet for x=0.}


Svar #2
23. september 2018 af sajana

hvordan kan jeg så vise at den ikke har nogle løsninger i (0,pi), men en løsning i (pi,2pi) . 


Brugbart svar (0)

Svar #3
23. september 2018 af AskTheAfghan

Man tjekker, om x = tan(x) har en løsning i (0, π). Da tan er positiv på (0, π/2) og er negativ på (π/2, π), er det nok med at kigge på det første interval (hvorfor?). Hvilke metoder, må du anvende til at løse en sådan ligning?


Brugbart svar (0)

Svar #4
23. september 2018 af Festino

For x\in\,]0,\frac{\pi}{2}[ er

x<\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}

og dermed er

\frac{2}{x}>\frac{2}{\tan x}=\frac{2\cos x}{\sin x}.

For x\in\,[\frac{\pi}{2},\pi[ er \sin x>0 og \cos x\le 0, og dermed er

\frac{2}{x}>0>\frac{2\cos x}{\sin x}.

Vi har nu vist, at der for x\in\;]0,\pi[ gælder

\frac{2}{x}>\frac{2\cos x}{\sin x}.

Heraf følger, at

f(x)=\frac{2}{x}-\frac{2\cos x}{\sin x}>0.

Altså har ligningen f(x)=0 ingen løsninger i intervallet ]0,\pi[.


Brugbart svar (0)

Svar #5
23. september 2018 af Festino

For at vise anden halvdel af opgaven, skal du finde x_1 og x_2\pi<x_1<x_2<2\pi samt f(x_1)<0 og f(x_2)>0. Du kan f.eks. vælge x_1=\frac{5\pi}{4} og x_2=\frac{3\pi}{2}. Da f er kontinuert og f(x_1)<0 og f(x_2)>0, findes der x\in\,]x_1,x_2[f(x)=0.


Skriv et svar til: ligningen f(x)=0

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.