Matematik

Vis følgen...

20. oktober 2018 af polit18 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, er der nogle som kan hjælpe mig med følgende opgave:

Vi betragter følgen (x_n), hvor

? n ? N: x_n = \sqrt{n^2+1} - n

Vis, at følgen (xn) er konvergent med grænseværdien x=0.

Tak på forhånd

Svar #1
20. oktober 2018 af polit18

Se foto

Vedhæftet fil:1B365F82-2D0B-4F85-8206-FE371A12F924.jpeg

Brugbart svar (0)

Svar #2
20. oktober 2018 af guuoo2 (Slettet)

1. Transformer n -> 1/n
2. Dan fælles brøkstreg
3. Gang n ind i √'en
4. Bemærk 0/0-udtryk og anvend hospital
5. Beregn de afledede
6. Bemærk kontinuitet i grænsen, og substituer derfor n=0.

$\\\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+1}-n)= \lim_{n\to0^+}(\sqrt{(1/n)^2+1}-1/n) \\\text{ }\hspace{3.2cm}=\lim_{n\to0^+}\frac{n\sqrt{(1/n)^2+1}-1}{n} \\\text{ }\hspace{3.2cm}=\lim_{n\to0^+}\frac{\sqrt{1+n^2}-1}{n} \\\text{ }\hspace{3.2cm}=\lim_{n\to0^+}\frac{(\sqrt{1+n^2}-1)'}{n'} \\\text{ }\hspace{3.2cm}=\lim_{n\to0^+}\frac{\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}}{1} \\\text{ }\hspace{3.2cm}\\\text{ }\hspace{3.2cm}=\lim_{n\to0^+}\frac{\frac{0}{\sqrt{0+1}}}{1}=0$

Skriv et svar til: Vis følgen...

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.