Matematik

Strukturerede Populationsmodeller

24. oktober 2018 af sebkn - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, sidder fast i opgave 4 og 5. Har opstillet det som jeg tror er ligevægtsligninger, men kan ikke gennemskue hvordan man stiller det op som en Matrix

Vedhæftet fil: Tema2_StrukturetPopulation.pdf

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Opgave 1)
Ligevægtsbetingelsen giver at

$f_{ja}n_j = m_an_a.$

Bruger vi nu løsningen til ligevægtsbetingelsen for hyppigheden af unge

$n_j = \frac{F_0}{f_{ja} + m_j}$

har vi at

$n_a = \frac{F_0}{m_a\Big(1 + \frac{m_j}{f_{ja}}\Big)}$

Opgave 2)
Se resultat af opgave 1).

Opgave 3)
Begynd med at observer at

$-\frac{1}{m_a(f_{ja}+m_j)}\begin{pmatrix} m_a & 0 \\ f_{ja} & f_{ja}+m_j \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-f_{ja}-m_j & 0 \\ f_{ja} & -m_a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$

hvorfor at

$\mathbf{T}^{-1} = -\frac{1}{m_a(f_{ja}+m_j)}\begin{pmatrix} m_a & 0 \\ f_{ja} & f_{ja}+m_j \end{pmatrix}$

er den inverse transitionsmatrice. Dermed er løsningen til

$\mathbf{s} = \mathbf{T}\mathbf{n}$

givet ved

$\mathbf{n} = \mathbf{T}^{-1}\mathbf{s}$ .

Altså har vi at

$\begin{align*} \begin{pmatrix}n_j \\n_a \end{pmatrix} &= -\frac{1}{m_a(f_{ja}+m_j)}\begin{pmatrix} m_a & 0 \\ f_{ja} & f_{ja}+m_j \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-F_0 \\0 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix}\frac{F_0}{f_{ja}+m_a} \\\frac{F_0}{m_a\big(1+\frac{m_a}{f_{ja}}\big)} \end{pmatrix} \end{align*}$

Bemærk at matrix ligningen $\mathbf{s} = \mathbf{T}\mathbf{n}$ ikke har nogen løsninger såfremt enten $m_a = 0$ eller $f_{ja} = - m_a$ , hvilket selvfølgelig er indlysende fra modelen selv.

Opgave 4)

Hvorfor at matrixformen for balanceligningen for hvert livsstadie er:

$\begin{pmatrix}F_0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-f_{12}-m_1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ f_{12} & -f_{23}-m_2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f_{23} & -f_{34}-m_3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & f_{34} & -f_{45} - m_4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & f_{45} & -m_5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\\n_4\\n_5\end{pmatrix}$

Opgave 5)
Find den inverse transitionsmatrix ved brug mapple.

Vedhæftet fil:swpply.jpg

Skriv et svar til: Strukturerede Populationsmodeller

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.