Matematik

Hvordan finder man planens ligning hvis man kender to vektorer.

24. oktober 2018 af xamza1608 - Niveau: A-niveau

Jeg skal lave en projektion af et punkt på et planen trekanten ABC. Men jeg skal først lave planens ligning og jeg har kun punkterne og dermed vektorene. Hvad skal jeg gøre for at få planens ligning når jeg kender to vektore så?

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. oktober 2018 af mathon

   $\small \textup{En normalvektor for planen}$
   $\small \textup{er:}$
      $\small \small \overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}$

$\small \textup{Planens ligning:}$

$\small \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AP}=0$ $\small P=(x,y)\textup{ er et vilk\aa rligt punkt i planen}$

$\small \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-a_1\\ y-a_2 \end{pmatrix}=0$ $\small A=(a_1,a_2)$

$\small ax+by+c=0\qquad \qquad \qquad c=-a\cdot a_1-b\cdot a_2$

Svar #2
24. oktober 2018 af xamza1608

#1
   $\small \textup{En normalvektor for planen}$
   $\small \textup{er:}$
      $\small \small \overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}$

$\small \textup{Planens ligning:}$

   $\small \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AP}=0$ $\small P=(x,y)\textup{ er et vilk\aa rligt punkt i planen}$

   $\small \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-a_1\\ y-a_2 \end{pmatrix}=0$ $\small A=(a_1,a_2)$

   $\small ax+by+c=0\qquad \qquad \qquad c=-a\cdot a_1-b\cdot a_2$

Det forstod jeg ikke helt. Jeg har lavet normal vektoren men ved ikke hvad jeg skal gøre nu. Hvordan får jeg min normal vektorer til at være en plans ligning.

forresten der er et punkt som jeg skal projektere til.

Brugbart svar (0)

Svar #3
24. oktober 2018 af ringstedLC

#2: Du skal bruge normalvektoren og et punkt til ligningen, vælg A, B eller C. En vektor fra dit valg til et hvilket som helst punkt P i planen prikket med normalvektoren er nul.

Hvis planen er i rummet:

$\begin{align*} ax+by+cz+d &=0 \\ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC} &=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} \\ \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AP}=0\;,\;P &=(x,y,z) \Downarrow \\ \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x-A_x\\y-A_y\\z-A_z\end{pmatrix} &=0 \Downarrow \\ a(x-A_x)+b(y-A_y)+c(z-A_z) &=0\Downarrow \\ ax-aA_x+by-bA_y+cz-cA_z &=0\Downarrow \\ ax+by+cz+(-aA_x-bA_y-cA_z) &=0 \;,\;d=(-aA_x-bA_y-cA_z) \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
24. oktober 2018 af AMelev

Når du har planens ligning, så har du også nomalvelktoren n.
Linjen gennem punktet med P med n som retningsvektor har parameterfremstillingen $\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_P \\ y_p \\ z_P \end{pmatrix}+ t\cdot n$

Så skal du indsætte dette i linjens ligning og løse mht. t.
Derefter indsætter du i ovenstående parameterfremstilling for at finde skæringspunktet.

Skriv et svar til: Hvordan finder man planens ligning hvis man kender to vektorer.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.