Matematik

Trekant med parallelle elementer

28. november 2018 af Jens312 - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg har i det følgende vedhæftet et billede af en trekant. Den har punkterne (0,0), (3,-1) og (x,f(x)). Her er f(x)=1/x.

Jeg har dannet vektorerne a=[3;-1] samt b=[x;f(x)] .

Ved at differentiere funktionen t(x)=1/2*|det(a,b)| har jeg fundet frem til x-værdien for det punkt på f(x), hvor trekanten har mindst areal: √3

Nu er spørgsmålet: Hvorfor er det ikke tilfældigt, at punktet på f(x), hvor trekanten opnår sit mindste areal, har en tangenthældning, der har samme hældning som linjen OQ? (a=[3;-1])?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2018-11-28 kl. 21.09.48.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. november 2018 af oppenede

OQ er en fast grundlinje, og derfor skal højden på OQ (den røde linje på figuren) være minimal, da formlen for arealet er: areal = ½*h*g.

Du mener vel "Hvorfor er det rent faktisk tilfældet"? Hvis tangenten for f ikke var parallel med grundlinjen OQ, så ville højden blive mindre ved at gå lidt til den ene eller anden side.

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. november 2018 af oppenede

Her har jeg forstørret den ene dimension, så længden 1 svarer til lige mange pixels i begge dimensioner.
Ellers kan man ikke aflæse vinkler/parallelitet med øjnene.

Vedhæftet fil:asd.png

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. november 2018 af mathon

de punkter på grafen for f(x), hvor trekanten har mindst areal

$\small \left ( -\sqrt{3}\: , -\tfrac{\sqrt{3}}{3}\right )\quad \textup{og}\quad \left ( \sqrt{3}\:, \tfrac{\sqrt{3}}{3} \right )$

Brugbart svar (0)

Svar #4
28. november 2018 af mathon

$\small f{\, }'(x)=\frac{-1}{x^2}$

$\small f{\, }'(\{-\sqrt{3}\: ,\sqrt{3}\})=\frac{-1}{\left (\mp \sqrt{3} \right )^2}=-\frac{1}{3}$

$\small \textup{h\ae ldningstal for linjen gennem (0,0) og (3,-1) er }-\tfrac{1}{3}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
29. november 2018 af mathon

Den parallelle tangents røringspunkt er tættest på vektor OQ, hvorfor trekantshøjden på linjestykket OQ bliver
kortest, hvilket resulterer i det mindste trekantsareal.

Skriv et svar til: Trekant med parallelle elementer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.