Matematik

Skæringspunkter mellem cirkler og linjer

08. december 2018 af Guest123 (Slettet) - Niveau: B-niveau

Er dette korrekt?

Opgave 1: En cirkel har ligningen (x-7)^2+(y+1)^2=74.

a) Bestem cirklens radius samt koordinaterne for cirklens centrum.
R = 8,6
(7,-1)

b) En linje er givet ved ligningen 8x+2y-5=0.
Gør rede for at linjen skærer cirklen i to punkter.
Det kan man finde ud af ved at beregne afstanden fra centrum til l:
dist(C,l)=|a·x_0+b·y_0+c|/√(a^2+b^2 )=|8·7+2·1-5|/√(8^2+2^2 )=6,4
Linjen skærer cirklen i to punkter, da distancen er mindre end cirklens radius.

c) Bestem koordinaterne for skæringspunkterne mellem linjen og cirklen.
Linjens ligning omskrives:
2y=-8x+5
Denne værdi for y sættes ind i cirklens ligning, som bliver til:
(x-7)^2+(-8x+5+1)^2=74
Dette er en andengradsligning, der kan løses vha. et CAS-værktøj, hvor man får:
X = 0,11, x = 1,59
Værdien af y kan beregnes ud fra linjens ligning:
x=0,11: y=-8·0,11+5=4,12
x=1,59 y=-8·1,59+5=-4,59
Linjen skærer cirklen i de to punkter: (0,11;4,12) og (1,59;-4,59)

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. december 2018 af ringstedLC

b) Distancen er 5.9, da du glemmer, at C_y = - 1

c) 2y indsættes, - det skal være y.

Brugbart svar (0)

Svar #2
08. december 2018 af mathon

2y=-8x+5
y = -4x+2.5
Denne værdi for y sættes ind i cirklens ligning, som bliver til:
(x-7)^2+(-4x+2.5+1)^2=74

$x=\begin{pmatrix} -0.2733\\ 2.7439 \end{pmatrix}$ $\small ..._{\textop_{osv}}...$

$8x+2y-5=0\Leftrightarrow y=2.5-4x$

Svar #3
08. december 2018 af Guest123 (Slettet)

#2
2y=-8x+5
y = -4x+2.5
Denne værdi for y sættes ind i cirklens ligning, som bliver til:
(x-7)^2+(-4x+2.5+1)^2=74

$x=\begin{pmatrix} -0.2733\\ 2.7439 \end{pmatrix}$ $\small ..._{\textop_{osv}}...$

$8x+2y-5=0\Leftrightarrow y=2.5-4x$

Opgave 2: En cirkel har ligningen (x-18)^2+(y-3)^2=20.
Bestem cirklens radius samt koordinaterne for cirklens centrum.
R = 4,5
(18,3)
En linje er givet ved ligningen x-2y-34=0.
Hvor mange skæringspunkter er der mellem linjen og cirklen?
dist(C,l)=|1·18-2·3-34|/√(1^2+(-2)^2 )=-9,6
Der er to skæringspunkter mellem linjen og cirklen, da distancen er mindre end cirklens radius.
Bestem koordinaterne til eventuelle skæringspunkter mellem linjen og cirklen.
x=2y+34
(2y+34-18)^2+(y-3)^2=20
Når jeg beregner den med CAS-værktøj siger den:
y∈∅
Ligningen havde ingen løsninger indenfor R for variabel y
Hvad er det, som jeg gør forkert?

Brugbart svar (0)

Svar #4
08. december 2018 af ringstedLC

Afstanden mellem linjen og cirklen kan ikke være -9.6. Den er altid positiv, fordi der er numeriske klammer.

Svar #5
08. december 2018 af Guest123 (Slettet)

#4
Afstanden mellem linjen og cirklen kan ikke være -9.6. Den er altid positiv, fordi der er numeriske klammer.

Jeg har beregnet den til 9,84 i stedet for. Det betyder, at der ikke er nogen skæringspunkter, fordi afstanden er større end cirklens radius?

Svar #6
08. december 2018 af Guest123 (Slettet)

Derfor kan man heller ikke beregne c) ud ?

Brugbart svar (0)

Svar #7
08. december 2018 af mathon

opgave 1

Skæringspunkter:
$\left ( \frac{42-\sqrt{2631}}{34},\frac{-83+4\cdot \sqrt{2631}}{34} \right )\qquad\textup{og}\qquad\left ( \frac{42+\sqrt{2631}}{34} ,\frac{-83-4\cdot \sqrt{2631}}{34}\right )$

Brugbart svar (0)

Svar #8
08. december 2018 af ringstedLC

#5 og #6: Korrekt.

Hvis du nærlæser de to c)'er, ses forskellen: "eventuelle". Omskriv spørgsmålet i #5 til en passende konklusion.

Svar #9
08. december 2018 af Guest123 (Slettet)

#8
#5 og #6: Korrekt.

Hvis du nærlæser de to c)'er, ses forskellen: "eventuelle". Omskriv spørgsmålet i #5 til en passende konklusion.

Er dette korrekt regnet ud i forhold til opg 1?

Opgave 1: En cirkel har ligningen (x-7)^2+(y+1)^2=74.
Bestem cirklens radius samt koordinaterne for cirklens centrum.
R = 8,6
(7,-1)
En linje er givet ved ligningen 8x+2y-5=0.
Gør rede for at linjen skærer cirklen i to punkter.
Det kan man finde ud af ved at beregne afstanden fra centrum til l:
dist(C,l)=|a·x_0+b·y_0+c|/√(a^2+b^2 )=|8·7+2·(-1)-5|/√(8^2+2^2 )≈5,942123
Linjen skærer cirklen i to punkter, da distancen er mindre end cirklens radius.
Bestem koordinaterne for skæringspunkterne mellem linjen og cirklen.
Linjens ligning omskrives:
8x+2y-5=0
2y=-8x+5
y=-4x+2,5
Denne værdi for y sættes ind i cirklens ligning, som bliver til:
(x-7)^2+(-4x+2,5+1)^2=74
? Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
x=2,74392 ∨ x=-0,2733316
X = 2,74 x = -0,27
Værdien af y kan beregnes ud fra linjens ligning:
x=2,74: y=-4·2,74+2,5=-8,46
x=-0,27 y=-4·(-0,27)+2,5=3,58
Linjen skærer cirklen i de to punkter: (2,74;-8,46) og (-0,27;3,58)

Brugbart svar (0)

Svar #10
08. december 2018 af ringstedLC

#9: Korrekt metode, men forkert afrundingsteknik.

Generelt om afrunding: Du vælger (- hvis ikke der kræves) et antal decimaler, men fastholder så dette antal i mellemregninger (ikke fem i et-, og syv i et andet).

Afrund først i resultatet, - det er direkte forkert, at beregne y med to decimalers nøjagtighed på baggrund af et x, der er afrundet til to decimaler fordi:

$\begin{align*} x \approx &\; 2.74 \Downarrow \\ 2.735\leq&\; x\leq 2.744\Downarrow \;,\;afrund.{-}fejl=2.740-2.735 = 0.005 \\ -10.940\geq&\; -4x\geq -10.976\Downarrow \;,\;afrund.{-}fejl=4\cdot 0.005 = 0.02 \\ -10.940+2.5\geq&\; y\geq -10.976+2.5\Downarrow \\ -8.440\geq&\; y\geq -8.476\Downarrow \\ &\;y = -8.46\pm0.02\Downarrow \\ -8.44\geq&\;y\geq -8.48 \end{align*}$

Svar #11
09. december 2018 af Guest123 (Slettet)

#10
#9: Korrekt metode, men forkert afrundingsteknik.

Generelt om afrunding: Du vælger (- hvis ikke der kræves) et antal decimaler, men fastholder så dette antal i mellemregninger (ikke fem i et-, og syv i et andet).

Afrund først i resultatet, - det er direkte forkert, at beregne y med to decimalers nøjagtighed på baggrund af et x, der er afrundet til to decimaler fordi:

$\begin{align*} x \approx &\; 2.74 \Downarrow \\ 2.735\leq&\; x\leq 2.744\Downarrow \;,\;afrund.{-}fejl=2.740-2.735 = 0.005 \\ -10.940\geq&\; -4x\geq -10.976\Downarrow \;,\;afrund.{-}fejl=4\cdot 0.005 = 0.02 \\ -10.940+2.5\geq&\; y\geq -10.976+2.5\Downarrow \\ -8.440\geq&\; y\geq -8.476\Downarrow \\ &\;y = -8.46\pm0.02\Downarrow \\ -8.44\geq&\;y\geq -8.48 \end{align*}$

Tak. Er dette korrekt?

Opgave 3: En cirkel har centrum i punktet (7,-3).
Bestem radius for cirklen sådan at den har netop ét skæringspunkt med linjen givet ved ligningen 3x+2y-4=0.
Vi ved, at cirklen har centrum i punktet (7, -3). For at bestemme radius for cirklen, så den har et skæringspunkt med linjen ved ovenstående ligning, skal man starte med at beregne afstanden fra cirklens centrum til l:
dist(C,l)=|3·7+2·(-3)-4|/√(3^2+2^2 )≈3,050851
Afstanden fra centrum til linjen er 3,1. Radius for cirklen skal være 3,1 sådan at den netop har et skæringspunkt med linjen givet ved ligningen 3x+2y-4=0.
Opskriv cirklens ligning, og bestem koordiantsættet for skæringspunktet mellem cirklen og linjen.
Vi ved, at cirklen har centrum i punktet (7, -3) og radius 3,1. Derfor bliver cirklens ligning: (x-7)^2+(y+3)^2=9,61
For at bestemme koordinatsættet for skæringspunktet mellem cirklen og linjen, starter vi med at omskrive linjens ligning:
3x+2y-4=0
2y=-3x+4
y=-1,5x+2
Denne værdi for y, sættes ind i cirklens ligning og vi finder x-koordinaterne vha. CAS-værktøjet Wordmat:
(x-7)^2+(-1,5x+2+3)^2=9,61
? Ligningen løses for x vha. CAS-værktøjet WordMat.
x=4,766527 ∨ x=4,15655
De to skæringspunkter har disse værdier af x. Værdien af y kan beregnes ud fra linjens ligning:
x= 4,766527 y=-1,5·4,766527+2≈-5,14979
x=4,15655 y=-1,5·4,15655+2≈-4,234825
Linjen skærer cirklen i de to punkter (4,8; -5,2) og (4,2; -4,2).

Brugbart svar (0)

Svar #12
09. december 2018 af ringstedLC

#11: Når der nu kun skal være et skæringspunkt, skal man så selv vælge?

Her kræves eksakte beregninger fordi enhver afrunding vil give to punkter:

$\begin{align*} dist_{C,\;l} = \frac{\left | 3\cdot 7+2\cdot (-3)-4 \right |}{\sqrt{3^2+2^2}} &= \frac{11}{\sqrt{13}} \\ (x-7)^2+(-1.5x+2+3)^2 &= \left ( \tfrac{11}{\sqrt{13}} \right )^2\Downarrow \\ x^2+49-14x+\tfrac{9}{4}x^2+25-15x &= \tfrac{121}{13}\Downarrow \\ \tfrac{13}{4}x^2-29x+74 &= \tfrac{121}{13}\Downarrow \\ 13x^2-116x+\tfrac{4\cdot(74\cdot 13-121)}{13} &= 0\Downarrow \\ 169x^2-1508x+3364 &= 0\Downarrow \\ x &= \frac{1508\pm \sqrt{(-1508)^2-4\cdot 169\cdot 3364}}{2\cdot 169}\Downarrow \\ x &= \tfrac{58}{13}\Downarrow \\ y &= -\tfrac{3\cdot 58}{2\cdot 13}+2\Downarrow \\ y &= -\tfrac{87+26}{13}=-\tfrac{61}{13}\Downarrow \\ R\o ringspunkt:\left ( \tfrac{58}{13}, -\tfrac{61}{13}\right ) \end{align*}$

Svar #13
09. december 2018 af Guest123 (Slettet)

#12
#11: Når der nu kun skal være et skæringspunkt, skal man så selv vælge?

Her kræves eksakte beregninger fordi enhver afrunding vil give to punkter:

$\begin{align*} dist_{C,\;l} = \frac{\left | 3\cdot 7+2\cdot (-3)-4 \right |}{\sqrt{3^2+2^2}} &= \frac{11}{\sqrt{13}} \\ (x-7)^2+(-1.5x+2+3)^2 &= \left ( \tfrac{11}{\sqrt{13}} \right )^2\Downarrow \\ x^2+49-14x+\tfrac{9}{4}x^2+25-15x &= \tfrac{121}{13}\Downarrow \\ \tfrac{13}{4}x^2-29x+74 &= \tfrac{121}{13}\Downarrow \\ 13x^2-116x+\tfrac{4\cdot(74\cdot 13-121)}{13} &= 0\Downarrow \\ 169x^2-1508x+3364 &= 0\Downarrow \\ x &= \frac{1508\pm \sqrt{(-1508)^2-4\cdot 169\cdot 3364}}{2\cdot 169}\Downarrow \\ x &= \tfrac{58}{13}\Downarrow \\ y &= -\tfrac{3\cdot 58}{2\cdot 13}+2\Downarrow \\ y &= -\tfrac{87+26}{13}=-\tfrac{61}{13}\Downarrow \\ R\o ringspunkt:\left ( \tfrac{58}{13}, -\tfrac{61}{13}\right ) \end{align*}$

Hvordan kan man beregne et røringspunkt med Wordmat?

Brugbart svar (0)

Svar #14
09. december 2018 af ringstedLC

Indstil Wordmat til eksakt/absolut resultat.

Svar #15
09. december 2018 af Guest123 (Slettet)

Det kan den ikke. Er der en anden måde, man kan gøre det på?

Skriv et svar til: Skæringspunkter mellem cirkler og linjer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.