Matematik

Forklaring af opgave formulering

05. januar 2019 af TingtokTea - Niveau: C-niveau

Hej jeg skal eksamen her om ikke så længe, og jeg kan ikke forstå spørgsmålet. Jeg har to der ligner hinanden, et for eksponentiel og et for potens:

Eksponentiel: Bevis, at der for eksponentielle funktioner gælder: Hvis der til x ligges et tal k, så ganges funktionsværdien med a^k

Potens: Bevis, at der for potensfunktioner gælder: Hvis der til x ligges et tal k, så ganges funktionsværdien med k^a

Det er næsten samme formulering. Men er virkelig i tvivl, håber en gider at uddybe! :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. januar 2019 af Sveppalyf

Eksponentiel: Bevis, at der for eksponentielle funktioner gælder: Hvis der til x ligges et tal k, så ganges funktionsværdien med a^k

Du skal bare tage funktionsudtrykket for en eksponentiel funktion, f(x) = a^x, og så lægge k til x og regn så frem:

f(x + k) = a^x+k = a^xa^k = a^k * f(x)

Potens: Bevis, at der for potensfunktioner gælder: Hvis x ganges med et tal k, så ganges funktionsværdien med k^a

Funktionsudtrykket for en potensfunktion er f(x) = x^a. Her ganger du bare x med k og regner frem:

f(k*x) = (k*x)^a = k^ax^a = k^a * f(x)

Svar #2
05. januar 2019 af TingtokTea

Så hvis det var en eksponentielfunktion med forskriften:

f(3) = 2 * 2³

Hvis k var 2, ville det så være:

f(3+2) = 2 * 2³⁺²= 64 ?

Brugbart svar (0)

Svar #3
05. januar 2019 af Anders521

# 2

Der er ikke tale om en eksponentielfunktion mht. skrivelsen f(3) = 2* 2³, men snarere funktionsværdien af 3,

Svar #4
05. januar 2019 af TingtokTea

#3

Gider du uddybe det en smule?

Brugbart svar (0)

Svar #5
05. januar 2019 af mathon

$\small f(x)=b\cdot a^x$

$\small f(x+k)=b\cdot a^{x+k}=\left (b\cdot a^x \right )\cdot a^k=f(x)\cdot a^k$

i anvendelse:

$\small f(x)=2\cdot 2^x$

$\small f(2+3)=f(2)\cdot 2^3=\left ( 2\cdot 2^2 \right )\cdot 2^3=(2^3)^2=8^2=64$

Svar #6
05. januar 2019 af TingtokTea

Tak for svarene drenge. Så blot for at opsummere, dette som i skriver her er hvad som man blot skal fremlægge for at bevise det? :)

Brugbart svar (0)

Svar #7
05. januar 2019 af Anders521

# 3 Når der skrives f(3) = 2_* 2³ læses dette som funktionværdien af x₀=3, når funktionen f(x)=2 _* 2^x anvendes.

Brugbart svar (0)

Svar #8
05. januar 2019 af Anders521

# 6

Der forventes mere end blot en præsentation af beviset for vækstegenskaben for de to nævnte funktioner. Lærer og censor vil forsøge at afdække dine færdigheder/kompentecer inden for det valgte eksamensspørgsmål.

Brugbart svar (0)

Svar #9
05. januar 2019 af ringstedLC

#0: Ja, det er næsten samme formulering. Men da a^k≠ k^a opstår der to forskellige typer vækst.

Ved eksponentiel vækst skal du bevise, at:

$\begin{align*} f(x) &= b\cdot a^x\Downarrow \\ f(x+k) &= f(x)\cdot a^k \end{align*}$

Her skal du bruge én potens-regel og én logaritme-regel:

$\begin{align*} f(x)\cdot a^k &=b\cdot a^{x+k}\Downarrow \\ f(x)\cdot a^k &= b\cdot a^x\cdot a^k\Downarrow\;,\;r^{s+t}=r^s\cdot r^t \\ \log\left(f(x)\cdot a^k\right) &= \log\left(b\cdot a^x\cdot a^k\right)\Downarrow \\ \log\left(f(x)\right)+\log\left(a^k\right) &= \log(b\cdot a^x)+\log(a^k)\Downarrow \;,\;\log(r\cdot s\cdot t)=\log(r\cdot s)+\log(t) \\ \log\left(f(x)\right)+\log\left(a^k\right)-\log(a^k) &= \log(b\cdot a^x)\Downarrow \\ \log\left(f(x)\right) &= \log(b\cdot a^x)\Downarrow \\ \log^{-1}\left(f(x)\right) &= \log^{-1}(b\cdot a^x)\Downarrow \\ f(x) &= b\cdot a^x \end{align*}$ Ved potens vækst skal du bevise, at hvis x ganges med et tal (- ikke lægges til, altså en anden forskel), så ganges funktionsværdien med k^a:

$\begin{align*} f(x) &= b\cdot x^{a}\Downarrow \\ f(x\cdot k) &= f(x)\cdot k^{a} \end{align*}$

Her skal du bruge en anden potens-regel, men den samme logaritme-regel:

$\begin{align*} f(x)\cdot k^{a} &= b\cdot (x\cdot k)^{a}\Downarrow \\ f(x)\cdot k^{a} &= b\cdot x^{a}\cdot k^{a}\Downarrow\;,\;(r\cdot s)^t=r^t\cdot s^t \\ \log\left ( f(x)\cdot k^{a} \right ) &= \log\left ( b\cdot x^{a}\cdot k^{a} \right )\Downarrow \\ \log\left ( f(x) \right )+\log\left ( k^{a} \right ) &= \log\left ( b\cdot x^{a} \right )+\log\left ( k^{a} \right )\Downarrow \;,\;\log(r\cdot s\cdot t)=\log(r\cdot s)+\log(t) \\ \log\left ( f(x) \right )+\log\left ( k^{a} \right )-\log\left ( k^{a} \right ) &= \log\left ( b\cdot x^{a} \right )\Downarrow \\ \log\left ( f(x) \right ) &= \log\left ( b\cdot x^{a} \right )\Downarrow \\ \log^{-1}\left ( f(x) \right ) &= \log^{-1}\left ( b\cdot x^{a} \right )\Downarrow \\ f(x) &= b\cdot x^{a} \end{align*}$

Fra tredie linje og ned, er de to beviser ens, bortset fra a^k og k^a. Det er altså kun potens-reglen i anden linje, der giver forskellen.

Brugbart svar (0)

Svar #10
05. januar 2019 af AMelev

Eksponentiel: Bevis, at der for eksponentielle funktioner gælder: Hvis der til x ligges et tal k, så ganges funktionsværdien med a^k

Potens: Bevis, at der for potensfunktioner gælder: Hvis der til x ligges et tal k, så ganges funktionsværdien med k^a

#0 Den holder ikke i byretten, som de øvrige svarere også har påpeget.
Det er korrekt hvad angår eksponentiel vækst f(x) = b·a^x
f(x+k) = b·a^x+k = b·a^x·a^k (iflg. potensregnereglerne) = f(x) ·a^k , altså når x vokser vokser med en bestemt værdi, så øges f(x) med en fast procent.

men....
det er ikke korret for potensvækst f(x) = b·x^a: f(x+k) = (x+k)^a ≠ x^a·k^a

For potensvækst f(x) = b·x^a gælder reglen:
Hvis x ganges med k = (1+r), så ganges funktionsværdien med k^a = (1 + r)^a, dvs. hvis x vokser med en fast procent, så øges f(x) med en fast procent
f((1+r)·x) = b·((1+r)·x)^a = b·(1+r)^a·x^a = f(x)· (1+r)^a

Brugbart svar (0)

Svar #11
06. januar 2019 af mathon

lidt enklere notation:
$\small \frac{y_2}{y_1}=\left (\frac{x_2}{x_1} \right )^a$

$\small \frac{(1+r_y)y_1}{y_1}=\left (\frac{(1+r_x)x_1}{x_1} \right )^a$

$\small 1+r_y=\left (1+r_x \right )^a$

Skriv et svar til: Forklaring af opgave formulering

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.