Matematik

Sammensatte funktioner

07. januar 2019 af GHJ789 - Niveau: A-niveau

Jeg har fået opgaven:

Funktionerne f og g er givet ved, at

f(x)=(x-1)/(x+2) g(x)=x²+1

Angiv forskrifter for f bolle g og g bolle f - husk definitionsmængderne

Forklar hvorfor g^-1ikke eksisterer.

Angiv en forskrift for f^-1

Jeg ved godt hvordan man sammensætter funktionerne, men så er jeg også rimentlig lost derfra

Brugbart svar (1)

Svar #1
07. januar 2019 af swpply (Slettet)

Definitionsmængde for f(x)
Du har at $x\neq-2$ eftersom at $x=-2 \quad\Rightarrow\quad x+2=0$ og eftersom at devision med $0$ ikke er en veldefineret aritmetisk operation, har du at $f(x)$ er defineret for samtlige reelle tal med undtagelse af $x=-2$ . Hvorfor at $\text{Dm}(f) = (-\infty,-2)\cup(-2,\infty)$ .

Definitionsmængde for g(x)
Eftersom at $x^2$ er veldefineret for samtlige reelle tal, har du at $g(x)$ ligeså er veldefineret for samtlige reelle tal. Hvorfor at $\text{Dm}(g) = \mathbb{R}$ .

f sammensat med g
$\begin{align*} (f\circ g)(x) &= f(g(x)) \\ &= \frac{g(x)-1}{g(x)+2} \\ &= \frac{x^2+1-1}{x^2+1+2} \\ &= \frac{x^2}{x^2+3} \end{align*}$

Af sammeoversag som at vi har at $\text{Dm}(f) = (-\infty,-2)\cup(-2,\infty)$ , har vi at $\text{Dm}(f\circ g) = (-\infty,-\sqrt{3})\cup(-\sqrt{3},\sqrt{3})\cup(\sqrt{3},\infty)$ .

g sammensat med f
$\begin{align*} (g\circ f)(x) &= g(f(x)) \\ &= \big(f(x)\big)^2 + 1 \\ &= \bigg(\frac{x-1}{x+2}\bigg)^2 +1 \\ &= \frac{x^2 - 2x +1}{x^2+4x+4} + 1 \\ &= \frac{2x^2+2x+5}{x^2+4x+4} \\ &= \frac{2x^2+2x+5}{(x-1)^2} \end{align*}$

Igen, af sammeoversag som at vi har at $\text{Dm}(f) = (-\infty,-2)\cup(-2,\infty)$ , har vi at $\text{Dm}(g\circ f) = (-\infty,1)\cup(1,\infty)$ .

g har ikke en inverse funktion
Dette er essentielt den samme oversag hvorfor at $x\mapsto x^2$ ikke har en inverse funktion.

Den inverse funktion til f
$\begin{align*} y = \frac{x-1}{x+2} \quad&\Leftrightarrow\quad y(x+2) = x-1 \\ &\Leftrightarrow\quad (y-1)x +2y+1 = 0 \\ &\Leftrightarrow\quad x = \frac{2y+1}{1-y} \end{align*}$

hvorfor at

$\begin{align*} f^{-1}(x) = \frac{2x+1}{1-x},\ x\neq1 \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
07. januar 2019 af AMelev

Et par smuttere i #1
fºg:
f(g(x)) = x² + 3 ≥ 3, så der er ingen problemer med division med 0. Dm(fºg) = R

- og i gºf:
$g(f(x) =\left ( \frac{x-1}{x+2} \right )^2+1$
Det eneste, der kan gå galt er division med 0, dvs. x = -2, så Dm(gºf) = Dm(f) = R\{-2} = {x|x ≠ -2}

Invers funktion til g:
Hvis g skal have en invers funktion g^-1, skal der gælde g(x) = y ⇔ g^-1(y) = x, men en funktion må kun have èn afhængig variabel (g^-1(y) = x) til hver uafhængig variabel (y), og det gælder ikke her, idet der er to løsninger for alle y, bortset fra y = 1.

Sagt på en anden måde: g skal være injektiv, dvs. x₁ ≠ x₂⇔ g(x₁) ≠ g(x₂). f(-2) = f(2) = 5 og dermed ikke forskellige, selv om -2 og 2 er det.
g er altså ikke injektiv og har derfor ikke en invers funktion.

Brugbart svar (0)

Svar #3
07. januar 2019 af swpply (Slettet)

#2 Hov, ja det er vist et par overordentlige smutter jeg har lavet mig der ;o)
Det er godt at du har opdaget den, tak.

Svar #4
08. januar 2019 af GHJ789

Hvordan kan f º g være f(g(x)) = x² + 3?

Brugbart svar (0)

Svar #5
08. januar 2019 af swpply (Slettet)

#4
Hvordan kan f º g være f(g(x)) = x² + 3?

Det er $(f\circ g)(x)$ heler ikke. Hvad AMelev til dels mente at skrrive var at

$(f\circ g)(x) = \frac{x^2}{x^2+3}$

og at $x^2+3\geq3$ for samtlige $x\in\mathbb{R}$ .

Brugbart svar (0)

Svar #6
08. januar 2019 af AMelev

#4 Det kan den heller ikke - her var det mig der klokkede i det.
Der skulle have stået f(g(x)): x² + 3 ≥ 3.
Godt, at du byder ind med et par vågne, kritiske øjne.

Svar #7
09. januar 2019 af GHJ789

Jeg forstår fortsat ikke, hvorfor g^-1 ikke eksisterer

Brugbart svar (0)

Svar #8
09. januar 2019 af swpply (Slettet)

#7
Jeg forstår fortsat ikke, hvorfor g^-1 ikke eksisterer

Fordi at funktionen $g:\mathbb{R}\rightarrow[1,\infty)$ ikke er injektiv.

Begynd med at observere at $g(x) = g(-x)$ . Tag f.eks. $x=1$ og $x=-1$ , da har du at $g(1) = 2$ og $g(-1) = 2$ . Overvej i dette tilfælde hvordan vil du bestemme hvad funktionsværdien af $g^{-1}(2) =\ ?$ bør være?

Brugbart svar (0)

Svar #9
09. januar 2019 af AMelev

Prøv at se, om dette link kan hjælpe dig.

Skriv et svar til: Sammensatte funktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.