Matematik

Tangentplanens ligning

11. januar 2019 af Warrio - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Opgaven er vedhæftet som et billede. Det gik helt findt, og fik en god resultat MEN, med en fortegn forket X(

Er der nogen som, kan se, hvad jeg har gjort forkert. Har gået igennem den så mange gange.

Jeg har fået "normalvektoren" til at være: $\bigtriangledown f(P)=<2e,-e,0>$ er det korrekt?

Jeg har derved indsat i formlen:

$2e(x-1)-e(y+1)+z-1=0\Leftrightarrow 2e(x-1)-e(y+1)=z+1$

På forhånd tak.

Vedhæftet fil: Screen Shot 2019-01-11 at 15.55.19.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. januar 2019 af swpply (Slettet)

Ligningen for tangentplanen i (1, -1, e) er givet ved

$z-e = 2e(x-1)-e(y+1)$

Husk at du generalt har at

$z-z_0 = f_x(x_0,y_0)\cdot(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)$

Svar #2
11. januar 2019 af Warrio

Ah okay, jeg har brugt den forkerte formel. Mange tak :)

Brugbart svar (0)

Svar #3
11. januar 2019 af swpply (Slettet)

#2
Ah okay, jeg har brugt den forkerte formel. Mange tak :)

Nej, jeg vil ikke sige at du har brugt den forkerte formel. Du har blot lavet en fortegnsfejl, da du skrev formlen. Husk, du kan tænke på ligningen for tangentplanen som Taylor udviklingen af funktionen f(x,y) omkring punktet (x₀,y₀) til første orden. På samme måde som at Taylor udviklingen til første orden af funktionen g(x) omkring x₀ giver dil ligningen for tangentlinjen til grafen for g(x) i punktet x₀.

Svar #4
11. januar 2019 af Warrio

Okay. Det var fordi jeg tænkte man satte in i formlen:

$a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0$

hvor man så isolerede det derfra så det blev til z+z0.

Brugbart svar (0)

Svar #5
11. januar 2019 af swpply (Slettet)

#4
Okay. Det var fordi jeg tænkte man satte in i formlen:

$a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0$

hvor man så isolerede det derfra så det blev til z+z0.

Det er rigtigt at ovenstående ligning er ligningen for et plan og du kan relativt nemt vise at der gælder at

$\begin{align*} a &= f_x(x_0,y_0) \\ b &= f_y(x_0,y_0) \\ c &= -1 \end{align*}$

for tangentplanen til grafen for f(x,y) i punktet (x₀,y₀,z₀).

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. januar 2019 af swpply (Slettet)

Du har at

$f(x,y) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\cdot(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\cdot(y-y_0) + \ldots$

hvorfor at Taylor udviklingen af f(x,y) omkring punktet (x₀,y₀,z₀) til første orden er givet ved

$T_1[f](x,y) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\cdot(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)$

benævner du nu $T_1[f](x,y) = z$ , har du at ligningen for tangentplanet f(x,y) omkring punktet (x₀,y₀,z₀) er givet ved

$z = z_0 + f_x(x_0,y_0)\cdot(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)$

og flytter du z₀ over på den modsatte side tager ligningen sin mere sædvanlige form, nemlig

$z-z_0 = f_x(x_0,y_0)\cdot(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)$

Svar #7
11. januar 2019 af Warrio

#5
#4
Okay. Det var fordi jeg tænkte man satte in i formlen:

$a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0$

hvor man så isolerede det derfra så det blev til z+z0.

Det er rigtigt at ovenstående ligning er ligningen for et plan og du kan relativt nemt vise at der gælder at

$\begin{align*} a &= f_x(x_0,y_0) \\ b &= f_y(x_0,y_0) \\ c &= -1 \end{align*}$

for tangentplanen til grafen for f(x,y) i punktet (x₀,y₀,z₀).

Hvordan, vil du vise at c = -1 ? jeg har nemlig fået det til 0

Brugbart svar (0)

Svar #8
11. januar 2019 af oppenede

Din ligning er z = f(x, y)

og du skal tage gradienten til det udtryk du opnår ved at samle alt på en side

0 = f(x,y) - z

Brugbart svar (0)

Svar #9
11. januar 2019 af swpply (Slettet)

Hvis jeg ikke kunne huske ligningen for tangentplanen og derfor skulle udlede den (back of the envelope kindastyle) vil jeg gøre som i #6.

Hvis jeg derimod skal som antydigt i #5, vil jeg begynde med at omskrive ligningen for et plan, således

$a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad z(x,y) = z_0 + A(x-x_0) + B(y-y_0)$

hvor

$A = -\frac{a}{c}\quad\text{og}\quad B = -\frac{b}{c}$

såfremt at $c\neq 0$ . Dermed har du at der nødvendigvist må gælde (dersom at planen er en tangentplan for f(x,y) i (x₀,y₀)) at

$\frac{\partial z}{\partial x}= f_x(x_0,y_0) \quad\text{og}\quad \frac{\partial z}{\partial y}= f_y(x_0,y_0)$

hvilket giver at

$A= f_x(x_0,y_0) \quad\text{og}\quad B= f_y(x_0,y_0)$

Skriv et svar til: Tangentplanens ligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.