Matematik

Eksponentiel vækst

16. januar 2019 af Imhotep (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej.

Der er opgivet en tabel, som beskrives ved $f(x)=b\cdot a^x$ (eksponentiel vækst).

Opgaven lyder: "Benyt modellen til at bestemme det tidspunkt, hvor væksthastigheden for udviklingen i befolkningstallet i Australien overstiger 0,38 mio. pr. år."

Jeg tænker man skal finde x, derfor skal man bruge $x=\frac{log(y)-log(b)}{log(a)}$ , men da y ikke kendes ved jeg ikke hvordan man går videre.

Vedhæftet fil: Screenshot (106).png

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. januar 2019 af oppenede

y er 0.38, og den x-værdi du får ved isolation viser hvornår der ifølge modellen er præcis så mange.

Hvis din regression giver en aftagende funktion, så vil befolkningstallet overstige 0.38 når x er mindre end den isolerede x-værdi. Hvis regressionen giver en voksende funktion vil befolkningstallet derimod overstige 0.38, når x er større.

Svar #2
16. januar 2019 af Imhotep (Slettet)

#1
y er 0.38, og den x-værdi du får ved isolation viser hvornår der ifølge modellen er præcis så mange.

Hvis din regression giver en aftagende funktion, så vil befolkningstallet overstige 0.38 når x er mindre end den isolerede x-værdi. Hvis regressionen giver en voksende funktion vil befolkningstallet derimod overstige 0.38, når x er større.

Jeg har indsat 0.38 på y's plads: $\frac{log(0.38)-log(10.7769846623340)}{log(1.01423122854614)}$ og får -236.7147973. Kan x være negativ?Jeg er lidt forvirret.

Brugbart svar (0)

Svar #3
16. januar 2019 af oppenede

Hvis du i din regression har oversat 1960 til x=0, så betyder x = -236.7 at befolkningstallet ifølge modellen vil overstige 0.38 i år 1724 (og derefter da a>1), hvilket jeg ikke synes ser forkert ud ift. den datatabel du har vedhæftet.

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. januar 2019 af ringstedLC

Du skal læse opgaven (og det skulle #3 måske også). Væksthastigheden skal være 0.38 mio. pr .år.

Du har beregnet hvornår befolkningstallet var 0.38 mio. (1960 - 236.7).

Svar #5
16. januar 2019 af Imhotep (Slettet)

#4
Du skal læse opgaven. Væksthastigheden skal være 0.38 mio. pr .år.

Du har beregnet hvornår befolkningstallet var 0.38 mio. (1960 - 236.7).

Ok, så a er 0.38?

Brugbart svar (0)

Svar #6
16. januar 2019 af ringstedLC

#5: Nej. a har du jo fundet ved regressionen.

Væksthastighed er:

$\begin{align*} \frac{\Delta bef.}{\Delta t} &= 0.38\cdot 10^6 \end{align*}$

Du skal nok i gang med at differentiere...

Brugbart svar (1)

Svar #7
17. januar 2019 af mathon

$\small y=b\cdot a^x$

$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\left (\ln(a)\cdot b \right )\cdot a^x$

Brugbart svar (1)

Svar #8
17. januar 2019 af mathon

i anvendelse:

$\small y=10.658972\cdot 1.014889^x$

$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\left (\ln(1.014889)\cdot 10.658972 \right )\cdot 1.014889^x=0.157532\cdot 1.014889^x$

$\small 0.38=0.157532\cdot 1.014889^x$

$\small 1.014889^x=\tfrac{0.38}{0.15753}$

$\small \log(1.014889)\cdot x=\log\left (\tfrac{0.38}{0.15753} \right )$

$\small x=\left \lceil \frac{\log\left (\tfrac{0.38}{0.15753} \right )}{\log(1.014889)} \right \rceil=60$
dvs i år

$\small \small 1960+60=2020$

Svar #9
17. januar 2019 af Imhotep (Slettet)

#8
i anvendelse:

   $\small y=10.658972\cdot 1.014889^x$

   $\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\left (\ln(1.014889)\cdot 10.658972 \right )\cdot 1.014889^x=0.157532\cdot 1.014889^x$

$\small 0.38=0.157532\cdot 1.014889^x$

$\small 1.014889^x=\tfrac{0.38}{0.15753}$

$\small \log(1.014889)\cdot x=\log\left (\tfrac{0.38}{0.15753} \right )$

$\small x=\left \lceil \frac{\log\left (\tfrac{0.38}{0.15753} \right )}{\log(1.014889)} \right \rceil=60$
dvs i år

$\small \small 1960+60=2020$

Tak! Fik dog resultatet til at være 1960 + 64 = 2024.

Brugbart svar (0)

Svar #10
17. januar 2019 af mathon

...afhænger af konstanterne a og b i

$\small y=b\cdot a^x\qquad \textup{men kan n\ae ppe afvige med 4 \aa r.}$

Brugbart svar (0)

Svar #11
07. april 2019 af josephinehaslund

Til mathon svar #8

Kan du forklare hvorfor vi bruger denne metode for at finde frem til svaret? Ja det var et svar, men jeg vil meget gerne forstå det så meget, at jeg kan vide hvornår jeg kan bruge den i fremtiden. (:

Tak på forhånd (:

Brugbart svar (0)

Svar #12
14. november 2022 af prettystranger

#8
i anvendelse:

   $\small y=10.658972\cdot 1.014889^x$

   $\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\left (\ln(1.014889)\cdot 10.658972 \right )\cdot 1.014889^x=0.157532\cdot 1.014889^x$

$\small 0.38=0.157532\cdot 1.014889^x$

$\small 1.014889^x=\tfrac{0.38}{0.15753}$

$\small \log(1.014889)\cdot x=\log\left (\tfrac{0.38}{0.15753} \right )$

$\small x=\left \lceil \frac{\log\left (\tfrac{0.38}{0.15753} \right )}{\log(1.014889)} \right \rceil=60$
dvs i år

$\small \small 1960+60=2020$

Hvordan får du b til at være 10,65?

Brugbart svar (1)

Svar #13
14. november 2022 af oppenede

#12 Ved at lade x være antal år efter 1960, dvs. for regression indsæt x=0 for år 1960, x=1 for 1961 osv.

Brugbart svar (0)

Svar #14
16. november 2022 af mathon

Hvordan får du b til at være 10,65?

Ved at foretage eksponentiel regression på dine tabelDATA.

Skriv et svar til: Eksponentiel vækst

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.