Matematik

den logistiske ligning

07. februar 2019 af Rimx0041 - Niveau: A-niveau

Jeg ved ikke rigtig hvordan jeg kan "bevis" den logistiske ligning (i billedet) når jeg ikke forstår det.

Vedhæftet fil: ´´´´+++´+´+´+.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. februar 2019 af peter lind

Brugbart svar (0)

Svar #2
07. februar 2019 af peter lind

Gør prøve d.vs. beregn y' og vis at den er lig med højre side når du indsætter y(x)

Brugbart svar (0)

Svar #3
08. februar 2019 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} y&=&\frac{\tfrac{b}{a}}{1+Ce^{-bx}}\\\\ 1+Ce^{-bx}&=&\frac{b}{ay}\\\\\mathbf{ {\color{Red} Ce^{-bx}}}&=&\frac{b-ay}{ay}=\frac{1}{a}\cdot \frac{b-ay}{y }&\textup{som anvendes nedenfor} \end{array}$

$\small \begin{array}{llllll} y&=&\frac{\tfrac{b}{a}}{1+Ce^{-bx}}\\\\ y{\, }'&=&\frac{b}{a}\cdot \frac{-1}{\left (1+Ce^{-bx} \right )^2}\cdot (-bCe^{-bx})=\frac{\frac{b}{a}}{1+Ce^{-bx}}\cdot \frac{b}{1+Ce^{-bx}}\cdot \mathbf{{\color{Red} Ce^{-bx}}}\\\\ y{\, }'&=&y\cdot \frac{\frac{b}{a}}{1+Ce^{-bx}}\cdot \frac{b-ay}{y}=\frac{y^2}{y}\left ( b-ay \right )\\\\ y{\, }'&=&y\left ( b-ay \right ) \end{array}$

Svar #4
08. februar 2019 af Rimx0041

fra y til y´, differentiare du bare det hele?

og hvordan får du y væk fra den ene side af lighedstegnet, men at det ikke er der på den anden side af lighedstegnet (punkt 1 og 2)

Brugbart svar (0)

Svar #5
08. februar 2019 af mathon

#4
sættes
$\small u=1-Ce^{-bx}$
har du
$\small u{\, }'=0-Ce^{-bx}\cdot (-b)=-bCe^{-bx}$

$\small y=\frac{\tfrac{b}{a}}{u}$

$\small y{\, }'=\tfrac{b}{a}\cdot \frac{-1}{u^2}\cdot u{\, }'$

$\small \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! y{\, }'=\tfrac{b}{a}\cdot \frac{-1}{\left ( 1+Ce^{-bx} \right )^2}\cdot\left ( -bCe^{-bx} \right )=\frac{\frac{b}{a}}{1+Ce^{-bx}}\cdot \frac{bCe^{-bx}}{1+Ce^{-bx}}=y\cdot \frac{b}{1+Ce^{-bx}}\cdot Ce^{-bx}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
08. februar 2019 af mathon

Ønskes
$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=y\cdot \left ( b-ay \right )>0\qquad a,b\in\mathbb{R}_+$
kræves:
$\small 0<y<\tfrac{b}{a}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
08. februar 2019 af AMelev

#4 Benyt dit CAS-værktøj.

Brugbart svar (0)

Svar #8
08. februar 2019 af mathon

da
$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}>0\textup{ er f(x)=y voksende.}$

Skriv et svar til: den logistiske ligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.