Matematik

anden ordens differentialligning

11. marts 2019 af Yipikaye - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg har 2 spørgsmål.

1) hvordan ser de komplekse rødder ud hvis man har følgende differentialligning?

$m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-kx$

Jeg har selv forsøgt at regne det ud. (Se nedenunder)

$mr^{2}+k=0$

$r=\frac{-0\pm \sqrt{-4mk}}{2m}=\frac{-0\pm \sqrt{4mki^{2}}}{2m}=\frac{0\pm 2*\sqrt{mki}}{2m}=?$

Jeg tror nok at det skal give følgende

$0\pm \sqrt{\frac{k}{m}}i$

2) Det andet spørgsmål er om hvorvidt man kun udtager det ene komponent i den generelle løsning hvis nu man har et system bestående af en fjeder og en masse som hænger svingene ned fra loftet.

$y=e^{\alpha x}*(C_{1}*cos(\beta x)+C_{2}*sin(\beta x))$

$y=e^{0 x}*(C_{1}*cos(\sqrt{\frac{k}{m}} x)+C_{2}*sin(\sqrt{\frac{k}{m}} x))$

nemlig

$y=C_{2}*sin(\sqrt{\frac{k}{m}}x)$

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. marts 2019 af peter lind

I 1) r = ...til allersidst skal du have i ud foran kvadratrodtegnet

ellers er det rigtigt

I 2) kan du skrive resultatet som C*sin(ωx+φ) hvor ω = kvrod(k/m) og φ er fasen

Svar #2
12. marts 2019 af Yipikaye

Hej igen

Hvorfor er det vigtigt med en phi-værdi som angiver faseforskydningen, når der kun er tale om et system bestående af en fjeder samt en masse? Er det fordi der både vil være en spænding og en tøjning tilstede i fjederen? I såfald hvad kommer først spændingen eller tøjningen eller er det i virkeligheden det samme som at spørge sig selv om hvad der kommer først, hønen eller ægget?

Hvis nu vi vælger at spændingen kommer først efterfulgt af en tøjning. Så vil vi have en ligning hvor spændingen skal udtrykkes ved tøjningen eller hvad? Hvordan ser slutresultatet så ud når man har følgende i forhold til det konkrete system som beskrevet oven over.

$y (x)=C*sin(\sqrt{\frac{k}{m}}x+\phi )$

Og hvorfor angives phi-værdien ikke i den generelle formel for løsningen af den pågældende anden ordens differential ligning?

Brugbart svar (0)

Svar #3
12. marts 2019 af peter lind

Hvad forstår du ved tøjning ?

Ellers har det simpelthen noget med begyndelsesbetiggelsene at gøre. Med din løsning er partiklen til x=0 i y =0 og det er jo ikke nødvendigvis tilfældet. Hvis du stater uret(jeg går her ud fra at t er tiden) ved det største udsving vil det jo ikke være tilfælde. Som du selv skriver er den generelle løsning C1*cos(ωx)+C2*sin(ωx) som ved nogle matematiske manipulationer kan omformes til C*sin(ωx+φ)

Svar #4
18. marts 2019 af Yipikaye

Hej igen. Sorry at jeg skriver igen i denne tråd. Men jeg kunne godt tænke mig at se hvordan man kan få følgende

$y=C*sin\left ( \sqrt{\frac{k}{m}}x+\phi \right )$

ud fra den generelle løsning

$y=C_{1}*cos\left ( \sqrt{\frac{k}{m}}x \right )+C_{2}*sin\left ( \sqrt{\frac{k}{m}}x \right )$

Har det noget med begyndelses værdierne at gøre?

Hvis y(0)=0? og hvad med y'(x)=?

PS Jeg ved godt hvordan man finder $C$ og $\phi$ . Så det skal jeg trods alt ikke have hjælp til.

Brugbart svar (0)

Svar #5
18. marts 2019 af peter lind

Sæt C2 ud foran en parentes. Sæt C2/C1 = tan(φ). Sæt cos(φ) ud foran en parentes og brug reglen om sin(φ)*cos(u) + cos(φ)*sin(u)

Svar #6
19. marts 2019 af Yipikaye

Kunne jeg få en til at tjekke beregningerne igennem?

$y=C_{2}*cos\left ( \sqrt{\frac{k}{m}}x \right )+C_{1}*sin\left ( \sqrt{\frac{k}{m}}x \right )$

$y=C_{1}*\left ( C_{2}*cos\left ( \sqrt{\frac{k}{m}}x \right )*\frac{1}{C_{1}}+sin\left ( \sqrt{\frac{k}{m}} \right ) \right )$

$y=C_{1}*\left ( cos\left ( \sqrt{\frac{k}{m}}x \right )*\frac{C_{2}}{C_{1}}+sin\left ( \sqrt{\frac{k}{m}}x \right ) \right )$

$\frac{C_{2}}{C_{1}}=tan(\phi )=\frac{sin(\phi )}{cos(\phi )}$

$y=C_{1}*\left ( cos\left ( \sqrt{\frac{k}{m}}x \right )*\frac{sin(\phi )}{cos(\phi )}+sin\left ( \sqrt{\frac{k}{m}}x \right ) \right )$

$y=C_{1}*\frac{1}{cos(\phi )}* \left ( cos\left ( \sqrt{\frac{k}{m}}x \right )*sin(\phi )+cos(\phi )*sin\left ( \sqrt{\frac{k}{m}}x \right ) \right )$

$y=C_{1}*\frac{1}{cos(\phi )}*sin\left ( \sqrt{\frac{k}{m}}x+\phi \right )$

Jeg synes ikke helt at jeg får det, som det skal give. Men det ser næsten rigtig ud.

Skriv et svar til: anden ordens differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.