bevis gradient står vinkelret på niveaukurve

Hvis niveaukurven består af punkter i Rⁿ og er givet ved ligningen F(x) = c, hvor F er en funktion fra Rⁿ til R^m, så lad P : R^n-m -> Rⁿ være en surjektiv parameterfremstilling for niveaukurven med t som parameter og med jacobimatrix J. Hver af søjlerne i J svarer til den retning P bevæger sig i når hver koordinat af t justeres.
Disse retninger/søjler udspænder tangentplanet for niveaukurven.

   F(P(t)) = c         <- gælder for alle t da P parametriserer niveaukurven
Differentier begge:
   ∇F·J = 0

Dvs. gradienten af F prikket med hver søjle af J er 0, og derfor er gradienten vinkeltret på tangentplanet.

Hej hoppende. Tak for svar :) synes godt nok ikke vi har lært noget om jacobimatrix osv.
Jeg har vedhæftet lige 2 billeder, af hvordan min lærer engang viste det på tavlen. Men jeg har svært ved at se helt præcis hvad der sker

Fortsættelse

Hvis F(x) = c  gælder i et givet x, så for at blive i niveaukurven skal funktionsværdien af F blive ved med at være c. Dvs. den/de retning(er) x kan flyttes uden at ryge ud af niveaukurven skal have retningsafledede 0.

Den retningsafledede er prikproduktet mellem gradient og en retning, så gradienten er vinkeltret på hver retning som niveaukurven bevæger sig i fra punktet x, og derfor er gradienten vinkeltret på tangentplanet.