Matematik
Korteste afstand mellem grafer med tangenter
Hej SP
Jeg har lagt mærke til en tendens: Har man to vilkårlige grafer, der ikke skærer hinanden, vil der være kortest afstand mellem graferne i de punkter på graferne, hvor de to grafer har den samme hældningskoefficient på deres tangenter. Lad os for eksempel sige, at vi har en linje samt en parabel. De to skærer ikke hinanden. Linjer har den samme tangent i alle punkter. Derfor vil punkterne på de to grafer, hvor afstanden er mindst mellem de to, være der, hvor parablens tangent har samme hældningskoefficient som linjens.
Hvorfor er det dog sådan? Hvad er det matematiske argument bagved?
Jeg håber, mit spørgsmål giver mening. /Niels
Svar #1
10. maj 2019 af Capion1
Den korteste afstand mellem et punkt og en ret linje er afstanden fra punktet til dets projektion på linjen.
Lad
y = f (x) og
ax + by + c = 0
være forskrifterne for henh.vis en kurve og en ret linje.
Vi bringer linjen på normalform (regnet med fortegn):
λ = (ax + by + c)/√(a2 + b2)
Afstanden λ0 mellem et punkt (x0 , f (x0)) på kurven og linjen er givet ved
λ0 = (ax0 + b·f (x0) + c)/√(a2 + b2)
Ved at differentiere λ m.h.t. x og sætte λ' = 0 får vi
f '(x) = - a/b
som er fælles hældningskoefficient for tangenten i kurvepunktet og linjen.
Skriv et svar til: Korteste afstand mellem grafer med tangenter
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.