Matematik

Undersøg om en række er konvergent.

19. september 2019 af seltzer - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg skal undersøge om rækken i vedhæftede fil er konvergent. Jeg tænker, at jeg skal bruge at e^Pi*i=-1 og e^uendelig = uendelig, således e^Pi*i*n/2 ikke går mod 0 (og dermed er konvergent). Men 1/n^2 vil vel gå mod 0 når n går mod uendelig. Betyder det at hele udtrykket så går mod 0? ... Håber nogen kan hjælpe!

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2019-09-19 kl. 09.33.59.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. september 2019 af Eksperimentalfysikeren

Det, at n² går mod 0, bevirker ikke, at summen går mod 0.

Så vidt jeg har forstået, skal du ikke finde summen, men blot afgøre, om den er konvergent.

Her kan du benytte, at hvis rækken |a_n| er konvergent, så er rækken a_n også konvergent.

Svar #2
19. september 2019 af seltzer

Tak! Jeg tror måske jeg forstår nu! Selvfølgelig er rækken konvergent for udtrykket er jo exp(i*Pi*n/2)/n^2 så når tælleren går mod uendelig og nævneren går mod uendelig (i anden) må det betyde det ikke går mod 0... er det rigtigt forstået?

Brugbart svar (0)

Svar #3
19. september 2019 af Eksperimentalfysikeren

Reglen med nummerisk værdi er nemmest at indse, hvis man ser på (-1)ⁿ i stedet for e^(i pi n/2). Den sidste kan betraktes som et "komplekst fortegn".

Vi antager, at summen af nummeriske værdier er S. Så vil summen af minus de nummeriske værdier være -S. Hvis nogle af ledene er positive og andre negative, vil summen ligge et sted mellem -S og S.

Tilsvarende vil i det komplekse tilfælde summen ligge i en cirkel med radius S om 0.

Jeg kan ikke huske, hvordan man afgør, om summen af 1/n² er konvergent, men jeg kan huske, at summen af 1/n^p er konvergent for p>1 og divergent for p≤1.

Brugbart svar (0)

Svar #4
19. september 2019 af Soeffi

#0.

Enig med #3 bortset fra, at jeg får:

$e^{\frac{i\pi n}{2}}=e^{i\cdot (\frac{\pi}{2}\cdot n)}=cos(\tfrac{\pi}{2}\cdot n)+i\cdot sin(\tfrac{\pi}{2}\cdot n)$

$n=1:cos(\tfrac{\pi}{2}\cdot 1)+i\cdot sin(\tfrac{\pi}{2}\cdot 1)=i=i^1$

$n=2:cos(\tfrac{\pi}{2}\cdot 2)+i\cdot sin(\tfrac{\pi}{2}\cdot 2)=-1=i^2$

$n=3:cos(\tfrac{\pi}{2}\cdot 3)+i\cdot sin(\tfrac{\pi}{2}\cdot 3)=-i=i^3$

$n=4:cos(\tfrac{\pi}{2}\cdot 4)+i\cdot sin(\tfrac{\pi}{2}\cdot 4)=1=i^4$

Dette gentager sig, og dermed er exp(i·n·π/2) = iⁿ.

Svar #5
20. september 2019 af seltzer

Det kan jeg godt følge! ...Det må så betyde at rækken er divergent? Tror jeg fik forvirret mig selv lidt i mit svar #2... Mange tak for hjælpen!.

Svar #6
20. september 2019 af seltzer

Når jeg sætter $n = \infty$ i udtrykket $\frac{\cos(\pi/2*n+i*\sin(\pi/2*n)}{n^2}$ i maple, får jeg at det er lig 0, hvilket må betyde den er konvergent? Beklager hvis jeg misser noget helt åbenlyst, har vidst fået rodet rundt i det hele i den her opgave.

Svar #7
20. september 2019 af seltzer

Beklager for spam. Men nu er jeg noget frem til vedhæftede besvarelse (efter at vise dét du Soeffi forklarer i #4). Håber på, det er i den rigtige retning.

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2019-09-20 kl. 18.05.35.png

Brugbart svar (0)

Svar #8
20. september 2019 af peter lind

Du er noget forvirret.

at a_n -> 0 medfører ikke at ∑a_n er konvergent Det gælder således ikke for a_n=1/n.

Derimod gælder der at ∑|a_n| er konvergent medfører at ∑a_n er konvergent

da |e^inπ/2|/n²| = 1/n² og ∑1/n² er konvergent er ∑e^inπ/2/n² konvergent

Svar #9
20. september 2019 af seltzer

Yes det var også det jeg kom frem til langt om længe efter en del forvirring ja... Tusinde tak!

Skriv et svar til: Undersøg om en række er konvergent.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.