Matematik

e^y --> y

16. oktober kl. 12:41 af IMBN3 - Niveau: Universitet/Videregående

Kan nogen hjælpe mig med, hvordan jeg får denne funktion til at hedde noget med y=  

ey = 1/a * eax + C

?

Jeg ved godt, jeg kan tage ln til ey men så skal det vel også gøres på den anden side. Og kan man der nøjes med at tage ln til eax eller skal det være ln(1/a *eax + C)?


Brugbart svar (1)

Svar #1
16. oktober kl. 12:44 af swpply

Tag den naturlige logaritme på begge sider af lighedstegnet.... Husk at y = ln(ey).


Svar #2
16. oktober kl. 12:46 af IMBN3

Ja, men læs lige det jeg har skrevet efter redigering


Brugbart svar (0)

Svar #3
16. oktober kl. 12:47 af swpply

Det skal selvfølgelig være ln(1/a *eax + C)


Svar #4
16. oktober kl. 12:55 af IMBN3

Og hvad får jeg så ud af det?
Lige nu har jeg y=ln(1)-ln(a) * ax + ln(C)
Jeg tænker det kan forkortes mere?
jeg er desværre ikke så god til at huske logaritmereglerne og kan aldrig finde det, jeg har brug for.


Brugbart svar (0)

Svar #5
16. oktober kl. 12:57 af swpply

#4

Lige nu har jeg y=ln(1)-ln(a) * ax + ln(C)

Det er ikke korrekt! Der gælder generalt  ikke at ln(a+b) = ln(a) + ln(b)


Brugbart svar (0)

Svar #6
16. oktober kl. 12:59 af swpply

Har dette spørgmål noget at gøre med en differentialligning? Hvis ja, så må du gerne skrive den oprindelige diff. ligning, da jeg har på fornemelsen at der måske har smuttet sig en regne-fejl ind.


Svar #7
16. oktober kl. 13:04 af IMBN3

#5 det er jo altså heller ikke det, jeg har skrevet. Jeg har 1/a og tager ln til det, så får jeg ln(1)-ln(a)

Den oprindelige hed:
dy/dx = eax / ey
Og jeg har brugt sep. af variable og har efter at have fundet stamfunktion fået det du ser i #1


Brugbart svar (0)

Svar #8
16. oktober kl. 13:13 af swpply

#7

#5 det er jo altså heller ikke det, jeg har skrevet. Jeg har 1/a og tager ln til det, så får jeg ln(1)-ln(a)

Du kan ikke bare tage logaritmen til de forskellige led og faktorer enkeltvist. Det er sandt at ln(1/a) = ln(1) - ln(a) (hvilket i øverigt bliver -ln(a) idet at ln(1) = 0). Men det er ikke det som jeg betvivler. Det er at du har skrevet ln(1)-ln(a) * ax + ln(C), hvilket vil sige at som en mellemregning har gjort noget i stil med ln(1/a * eax + C) = ln(1/a * eax) + ln(C); hvilket ikke er korrekt!

Det er sandt at ln(1/a * eax) = ax - ln(a). Men det er ikke sandt at ln(1/a * eax + C) = ax - ln(a) + ln(C).


Svar #9
16. oktober kl. 13:22 af IMBN3

Det er jo bare der, jeg er nået til. Jeg ved endnu ikke hvad ln(C) er. Jeg går ikke ud fra, at der er ét enkelt tal der kommer ud af ln(1/a *eax + C), derfor tager jeg et led ad gangen.
Måske kunne du koncentrere dig om, hvad jeg SKAL gøre, i stedet for kun at nævne, hvad jeg ikke skal gøre?
jeg kunne virkelig godt bruge noget hjælp her.
Nu ser det således ud: y= -ln(a) * ax + ln(C)
kan du sige noget om hvad jeg kan gøre for at forkorte det udtryk? Hvis det er muligt.


Brugbart svar (0)

Svar #10
16. oktober kl. 13:28 af swpply

#9

Det er jo bare der, jeg er nået til. Jeg ved endnu ikke hvad ln(C) er. Jeg går ikke ud fra, at der er ét enkelt tal der kommer ud af ln(1/a *eax + C), derfor tager jeg et led ad gangen.
Måske kunne du koncentrere dig om, hvad jeg SKAL gøre, i stedet for kun at nævne, hvad jeg ikke skal gøre?
jeg kunne virkelig godt bruge noget hjælp her.

Klap hesten matros,

Jeg prøver at hjælpe dig. Jeg fortalte dig allerede i #1 hvad du skulle gøre. Det kan jeg så forstå på din efterfølgende besked at du har forsøgt dig på (og det er godt). Men du har desvære lavet mindst to regnefejl, det prøver jeg så at gøre dig opmærksom på - idet at minimalt lære ved at jeg giver dig svaret, fremfor at du selv regner dig frem til det og som del deraf også inser hvorfor de fejl du laver undervejs faktisk også er fejl.

HINT: Der er ikke meget du kan gøre ved udtrykket ln(1/a * eax + C) desvære.


Brugbart svar (0)

Svar #11
16. oktober kl. 13:37 af swpply

Hvis jeg var dig vil jeg sætte to streger under resultatet

                                                             y(x) = \ln\bigg(\frac{e^{ax}}{a}+C\bigg)

Det eneste du kan gøre ved højresiden er

                                    \begin{align*} \ln\bigg(\frac{e^{ax}}{a}+C\bigg) &= \ln\bigg[\frac{e^{ax}}{a}\bigg(1+aCe^{-ax}\bigg)\bigg] \\ &= ax - \ln(a) + \ln\Big(1+aCe^{-ax}\Big) \end{align*}

Men i min mening bliver det kun et mindre pænt resultat som følge af denne ekstra beregning.


Brugbart svar (0)

Svar #12
16. oktober kl. 13:39 af swpply

Hvad er den eksakte ordlyd af opgaven?

Beder de dig om at bestemme løsninger til diff. lign. eller beder de blot om at finde én løsning?


Svar #13
16. oktober kl. 14:50 af IMBN3

Den lød således:

 Bestem den fuldstændige løsning til di?erentialligningen
dy/dx = eax/ ey
,
hvor a > 0 er en parameter

Men jeg har taget resultatet fra #10 og skrevet det rent, så håber jeg kan beholde det uden for mange tilføjelser og stadig få et rigtigt resultat


Brugbart svar (0)

Svar #14
16. oktober kl. 15:10 af swpply

Den var straks være.

Du er ikke garenteret at finde samtlige (og dermed den fuldstændige) løsning til en differentialligningen ved brug af seperation af de variable. Og slet ikke nu hvor din differentiallingnen er ikke lineær.


Brugbart svar (0)

Svar #15
16. oktober kl. 15:11 af swpply

#13

Men jeg har taget resultatet fra #10 og skrevet det rent, så håber jeg kan beholde det uden for mange tilføjelser og stadig få et rigtigt resultat

Det rigtige resultat er

                                                           y(x) = \ln\bigg(\frac{e^{ax}}{a}+C\bigg)

"No more, no less".

Du kan ikke reducere dette ydeligere, det var hvad jeg prøvet at illustrere i #11.


Brugbart svar (0)

Svar #16
16. oktober kl. 15:30 af swpply

Istedet for at bruge seperation af de variable, vil jeg istedet løse din diff. ligning ved følgende metode:

                                                   \begin{align*} y^\prime = \frac{e^{ax}}{e^y} \quad&\Leftrightarrow\quad y^\prime e^y = e^{ax} \\ &\Leftrightarrow\quad \big(e^{y}\big)^\prime = e^{ax} \\ &\Leftrightarrow\quad e^y = \frac{e^{ax}}{a} + C \\ &\Leftrightarrow\quad y(x) = \ln\bigg(\frac{e^{ax}}{a} + C\bigg). \end{align*}

Fordellen ved denne metode over seperation af de variable er at du har en biimpliaktion (⇔) hele vejen igennem (i modsætning til sep. af de variable), hvilket betyder at du hermed kan garentere at den ovenstående fundne løsning er den fuldstændige løsning til differentialliginngen.


Skriv et svar til: e^y --> y

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.