Matematik

Bestem samtlige komplekse tal z, der løser 4.grads ligningen; z^4=ω Og skitsér løsningerne på en tegning:

09. november kl. 14:47 af Amalie1234324 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, 

Jeg forstår hvilken formler der skal bruges til denne opgave. Problemet ligger dog i, at jeg ikke ved hvor e^i kommer fra. Jeg har kigget på opgaven i studieportal:

https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1399121

Nogen der kan forklare hvor e^i kommer fra, samt 2pi/3?


Brugbart svar (0)

Svar #1
09. november kl. 15:19 af peter lind

Et komplekst tal ω=r*eiv kan også skrives r*ei(v+2pπ) p∈Z

Løsningen til ligningen z4 = ω bliver så ifølge almindelige potensregler z= r1/4*ei(v+2pπ)/4  p=0,1, 2,3


Svar #2
09. november kl. 16:03 af Amalie1234324

Hvad skal der ståes på v´s plads, i og r. Det giver ikke meget mening for mig. Og jeg fik af vide at jeg skal bruge formlen  z_1=?16*e^i((2π/3)/4+0*(2*π)/4) =2*e^i(π/6+0) =2*e^i(π/6) 


Brugbart svar (1)

Svar #3
09. november kl. 16:46 af peter lind

se https://da.wikipedia.org/wiki/Komplekse_tal  under rektangulær form

det der i artiklen hedder φ er det jeg kalder v


Svar #4
09. november kl. 16:53 af Amalie1234324

Men hvis jeg nu skal indsætte værdierne er det så 16^1/4*e^i(v+2*0*pi)/4

Men jeg ved stadig ikke hvad v er?


Brugbart svar (1)

Svar #5
09. november kl. 17:29 af peter lind

Det kommer jo an på hvad ω er. Ifølge opgaven skulle der gælde ω= 16*ei(2π/3)  og så er v=ω= 2π/3


Svar #6
09. november kl. 17:50 af Amalie1234324

så det er  16^1/4*e^i(2pi/3+2*0*pi)/4???


Brugbart svar (1)

Svar #7
09. november kl. 18:29 af peter lind

Nej der er 4 mulige løsninger.  Der skal stå 2*p*π hvor p kan være 0, 1, 2 eller 3. Hvis du har ligningen x4 = 1 er der jo 2 løsninger 1 og -1  med komplekse tal er der yderligere 2 nemlig i og -i


Svar #8
09. november kl. 18:52 af Amalie1234324

Jeg har fundet ud af det. Tusind tak:)


Svar #9
09. november kl. 19:02 af Amalie1234324

hvordan ved man at v=2pi/3??


Brugbart svar (0)

Svar #10
09. november kl. 19:07 af peter lind

det er givet i opgaven


Svar #11
09. november kl. 19:07 af Amalie1234324

Kan du ikke lide sætte ind i formlen. Indtil videre har jeg z=r^1/4*(e^i(2π/3+2*0*π), og p er 0


Brugbart svar (0)

Svar #12
09. november kl. 19:59 af peter lind

 Næste ang sætter du bare p = 1


Svar #13
09. november kl. 20:24 af Amalie1234324

Okey tusind tak. Så svar #12 er rigtigt. Altså selve indsættelser af af de forskellige tal er rigtige ikke?


Brugbart svar (1)

Svar #14
09. november kl. 21:34 af mathon

\small \begin{array}{llllll} &z^4=16\cdot e^{i\cdot \frac{2\pi }{3}+p\cdot 2\pi }\qquad p\in\left \{ 0,1,2,3 \right \}\\\\ &\left ( z^4 \right )^{\frac{1}{4}}=\left ( 16\cdot e^{i\cdot \frac{2\pi }{3}+p\cdot 2\pi } \right )^{\frac{1}{4}}\\\\ &z=\left (2^4 \right )^{\frac{1}{4}}\cdot \left ( e^{i\cdot \frac{2\pi }{3}+p\cdot 2\pi } \right )^{\frac{1}{4}}=2\cdot e^{i\cdot \frac{2\pi }{3\cdot 4}+p\cdot \frac{2\pi }{4}}=2\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{6}+p\cdot \frac{\pi }{2}}\qquad p\in\left \{ 0,1,2,3 \right \}\\\\ \end{array}


Brugbart svar (1)

Svar #15
09. november kl. 21:39 af mathon

                   \small \begin{array}{lllll} &z=\left\{\begin{array}{lllll} 2\cdot e^{i\cdot \frac{\pi }{6}}=2\cdot \cos\left ( \frac{\pi }{6}\right )+2\cdot i\cdot \sin\left ( \frac{\pi }{6} \right ) =\sqrt{3}+i&p=0\\\\ 2\cdot e^{i\cdot \frac{4\pi }{6}}=2\cdot \cos\left ( \frac{4\pi }{6}\right )+2\cdot i\cdot \sin\left ( \frac{4\pi }{6} \right ) =-1+i\cdot \sqrt{3}&p=1\\\\ 2\cdot e^{i\cdot \frac{7\pi }{6}}=2\cdot \cos\left ( \frac{7\pi }{6}\right )+2\cdot i\cdot \sin\left ( \frac{7\pi }{6} \right ) =-\sqrt{3}-i&p=2\\\\ 2\cdot e^{i\cdot \frac{10\pi }{6}}=2\cdot \cos\left ( \frac{10\pi }{6}\right )+2\cdot i\cdot \sin\left ( \frac{10\pi }{6} \right ) =1-i\cdot \sqrt{3}&p=3 \end{array}\right. \end{array}


Svar #16
09. november kl. 22:20 af Amalie1234324

Mathon, hvorfor bruger du kun 2*e^1*pi/6. Hvorfor tager du ikke p*pi/2 med. Hvordan kan pi går fra 4pi til 7pi til 10 pi??


Brugbart svar (0)

Svar #17
10. november kl. 09:42 af mathon

#16
                                     \small \begin{array}{lllll} \frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{6} \end{array}\small \begin{array}{lllll}\textup{Bem\ae rk}\\ &\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{6}\\ \textup{og dermed}\\ &i\cdot \frac{\pi }{6}+0\cdot \frac{3\pi }{6}&=&i\cdot \frac{\pi }{6}\\\\ &i\cdot \frac{\pi }{6}+1\cdot \frac{3\pi }{6}&=&i\cdot \frac{4\pi }{6}\\\\ &i\cdot \frac{\pi }{6}+2\cdot \frac{3\pi }{6}&=&i\cdot \frac{7\pi }{6}\\\\ &i\cdot \frac{\pi }{6}+3\cdot \frac{3\pi }{6}&=&i\cdot \frac{10\pi }{6}\\\\ \end{array}                  


Brugbart svar (1)

Svar #18
10. november kl. 09:53 af mathon

tastekorrektion:
 

                                     \small \small \begin{array}{lllll}\textup{Bem\ae rk}\\ &\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{6}\\ \textup{og dermed}\\ &i\cdot\left ( \frac{\pi }{6}+0\cdot \frac{3\pi }{6} \right )&=&i\cdot \frac{\pi }{6}\\\\ &i\cdot\left ( \frac{\pi }{6}+1\cdot \frac{3\pi }{6} \right )&=&i\cdot \frac{4\pi }{6}\\\\ &i\cdot\left ( \frac{\pi }{6}+2\cdot \frac{3\pi }{6} \right )&=&i\cdot \frac{7\pi }{6}\\\\ &i\cdot\left ( \frac{\pi }{6}+3\cdot \frac{3\pi }{6} \right )&=&i\cdot \frac{10\pi }{6}\\\\ \end{array}                  


Svar #19
10. november kl. 11:25 af Amalie1234324

i SVAR #4, der opløfter du ikke 16 med 1/4. Skal man ikke det, for det indgår i den formel som jeg fået hjælp til lige før. Eller er det fordi at du opløfter helle udtrykket med 1/4, at du ikke skal opløfte 16 ??


Brugbart svar (0)

Svar #20
10. november kl. 11:45 af mathon

se #14


Forrige 1 2 Næste

Der er 21 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.