Matematik

Fuldstændig løsning for koblet system

05. december 2019 af jamenhalløjsa - Niveau: A-niveau

Hej, jeg sidder med en opgave, som jeg har lidt problemer med at løse:

Et system af koblede differentialligninger er givet ved:

v' = -2 * u

u' = -8 * v

Det oplyses at v(0) = 3 og u(0) = -2

c) Bestem den fuldstændige løsning for v(t)

I opgaven b) skulle man opstille en differentialligning for v'', hvilket jeg har gjort:

v'' = 16 * v

Derudover ved jeg, at den fuldstændige løsning er givet ved; (sqrt er kvadratroden) $y = c_1 * e^(^s^q^r^t^(^a^)^)^*^t+c_2 * e^-^(^s^q^r^t^(^a^)^)^*^t$

(a = 16)

Det er her jeg støder på problemer, da jeg er usikker på, hvordan jeg bestemmer c1 og c2. Jeg ved, at jeg højst sandsynligt skal bruge viden om, at v(0) = 3.

På forhånd tak for hjælpen!:))

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. december 2019 af Soeffi

#0.

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2019-12-05 kl. 19.32.46.png

Svar #2
05. december 2019 af jamenhalløjsa

#1
#0.

Tak for hjælpen.

Glemte måske lige at skrive, at jeg ikke må bruge hjælpe midler... så skal helst kunne løse opgaven uden Nspire

Brugbart svar (0)

Svar #3
06. december 2019 af Soeffi

#2. Du tager...

$y = c_1 * e^(^s^q^r^t^(^a^)^)^*^t+c_2 * e^-^(^s^q^r^t^(^a^)^)^*^t$

...og løser y(0) = 3 og y'(0) = -2 med hensyn til c₁ og c₂.

Brugbart svar (1)

Svar #4
07. december 2019 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll} &I\textup{:}&v{\, }' =-2\cdot u\\&II\textup{:}&u{\, }' =-8\cdot v\\\\I\textup{ differentieres}&&v{\, }''= -2\cdot u{\, }' \\\\\textup{som ved inds\ae ttelse}\\\textup{af }II\textup{ giver:}&&v{\, }''= -2\cdot (-8v)\\ &&v{\, }''=16v\\&&v{\, }''-16v=0\\\\ \textup{hvis karakterligning:} &&r^2-16=0\\\textup{har l\o sningerne:} &&r=\left\{\begin{matrix} 4\\-4 \end{matrix}\right.\\\\\textup{Den fuldst\ae ndige}\\\textup{l\o sning er derfor:}&&v(t)=A\cdot e^{4t}+B\cdot e^{-4t} \\\textup{og}\\&&v(0)=A+B=3\Leftrightarrow &&&III\textup{:}&2A+2B=6\\\\\\\\ \textup{Af }I&&u=-\frac{1}{2}v{\, }'\\\\&&u=-\frac{1}{2}\cdot \left (4A\cdot e^{4t}-4B\cdot e^{-4t} \right ) \\\\&&u(t)=-2A\cdot e^{4t}+2B\cdot e^{-4t}\\\\&&u(0)=-2A+2B=-2&&&IV\textup{:}&-2A+2B=-2 \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #5
07. december 2019 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllllll} \\\\\\\ III\textup{ og }IV\textup{ adderes:}\, \, \, \, \,\, \,\, &&4B=4\\&&\mathbf{{\color{Red} B=1}}\\\\&&A+B=3\\&&\mathbf{{\color{Red} A=2}} \\\\\textup{hvoraf:}&&\mathbf{{\color{Blue} v(t)=2e^{4t}+e^{-4t}}}\\\\&&\mathbf{{\color{Blue} u(t)=-4e^{4t}+2e^{-4t}}} \end{array}$

Skriv et svar til: Fuldstændig løsning for koblet system

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.