Matematik

Hjælp ! hvordan finder jeg et punkt i D hvor f antager sin mindste værdi på D

06. december 2019 af Lucyzz - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg aner ikke, hvordan jeg skal løses denne opgave. Håber at nogen kan hjælpe mig :)

Lad f ( x,y ) være funktionen

$f(x,y)=4x^2y-2x^2-2y+16,$

og lad D betegne området i planen givet ved

$D= (x,y):0\leq x\leq 1,x^2\leq y\leq 1.$

Opgave:

Find et punkt $(x_1,y_1)$ i $D$ hvor $f$ antager sin mindste værdi på $D$ , og angiv funktionsværdien $f(x_1,y_1).$

Skriv dit svar, et helt tal mellem 0 og 99.

Brugbart svar (0)

Svar #1
06. december 2019 af peter lind

Løs ligningerne f'_x(x,y) = 0 og f'_y(x,y) = 0

Brugbart svar (1)

Svar #2
06. december 2019 af Eksperimentalfysikeren

Start med at finde de to partielle afledede. Hvis de har et fælles nulpunkt, så har f et stationært punkt, som kan være et minimum.

D er begrænset af x=0, x=1, y=1 og y=x².

For den første indsætter du x=0 i f_y og løser ligningen igen, tilsvarende for de to næste kanter.

For den sidste kant differentierer du langs kurven: f'(x,x²). og finde igen nulpunkt. Til sidst skal du huske at finde funktionsværdierne af grænsernes skæringspunkter.

Hermed har du enliste over kandidater. Du frasorterer dem, der ligger udenfor D. Derefter sammenligner du funktionsværdierne og finder den mindste.

Brugbart svar (1)

Svar #3
06. december 2019 af mathon

$\small \begin{array}{llll}&f(x,y)= 4x^2\cdot y -2x^2-2y+16\\\\&f_x=8xy-4x=4x(2y-1)\\\\&f_y=4x^2-2 \\\\\textup{et station\ae rt}\\\textup{punkt kr\ae ver:} &f_x(x_1,y_1)=f_y(x_1,y_1)=0\\\\&f_x=4x(2y-1)=0\\\\ & \begin{matrix} x=0\\ y=\frac{1}{2}\\\\\\ f_y=4x^2-2=0\\\\ x=\left\{\begin{matrix} -\frac{\sqrt{2}}{2}\\\\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}\right. \end{matrix}\\\\\textup{dvs punkterne:}&P_1\left (- \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2} \right )\textup{ og }P_2\left (\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2} \right )\end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #4
06. december 2019 af mathon

$\small \begin{array}{lllll}&f_{xx}=8y-4\\\\&f_{yy}=0\\\\&f_{xy}=8x\\\\\\f_{lok. min}\textup{ kr\ae ver:}&f_{xx}>0\textup{ og }f_{xx} \cdot f_{yy}-{f_{xy}}^2>0\\\\ &f_{xx}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2} \right )=f_{xx}\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2} \right )=0 \\\\ \textup{saddelpunkt n\aa r}\\f_{xx}=0\\\textup{kr\ae ver:} &-{f_{xy}}^2=-(8x)^2<0&\textup{hvilket er opfyldt for begge punkter }P_1\textup{ og } P_2\\\textup{dvs}\\ \textup{saddelpunkterne:}&P_1\textup{ og }P_2 \end{array}$

Skriv et svar til: Hjælp ! hvordan finder jeg et punkt i D hvor f antager sin mindste værdi på D

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.