Matematik

Bestem gradtallet for den spidse vinkel mellem kurvens to tangenter i P

04. januar 2020 af need4helplol (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej jeg sidder og fumler med en opgave som lyder følgende:

En vektorfunktion s(t) er givet ved

x(t)= t^2 + 2

y(t) = 9t-t^3
Punktet P(11,0) er et dobbeltpunkt på kurven.

b) Bestem gradtallet for den spidse vinkel mellem kurvens to tangenter i P.

Kurven har tre tangenter, der hver for sig er parallel med en af koordinatsystemets akser.

Disse tre tangenter danner sammen med linjen med ligningen x =11 et rektangel.

c) Bestem arealet af dette rektangel.

Enhver hjælp er værdsat.

Brugbart svar (1)

Svar #1
04. januar 2020 af Eksperimentalfysikeren

Start med at differentiere de to funktioner. Så har du hastighedsfunktionerne. Find de t-værdier, der svarer til punktet P (Det er nemmest ud fra x(t).)

Skalarproduktet af de to hastighedsvektorer i dette punkt divideren med produktet af deres længder er cosinus enten til den søgte vinkel eller til dens nabovinkel.

c) Find de t-værdier, der svarer til de omtalte tangenter. Find de tilsvarende punkter.

Brugbart svar (1)

Svar #2
04. januar 2020 af StoreNord

#0
Enhver hjælp?

Vedhæftet fil:Skærmbillede fra 2020-01-04 21-34-17.png

Brugbart svar (1)

Svar #3
04. januar 2020 af mathon

$\small \begin{array}{lllll}a)&\textup{vektorfunktion:}&\mathbf{s}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\y(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t^2+2\\9t-t^3 \end{pmatrix}\\\\&\textup{dobbeltpunkt:}&\begin{pmatrix} 11\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}t^2+2\\9t-t^3 \end{pmatrix}\\\\ &\textup{1.koordinaten kr\ae ver:}&t^2+2=11\Leftrightarrow t^2=9\Leftrightarrow t=\left\{\begin{matrix} -3 \\3 \end{matrix}\right.\\\\ &\textup{2.koordinaten kr\ae ver:}&9t-t^3=0\Leftrightarrow t\cdot (9-t^2)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -3\\0 \\ 3 \end{matrix}\right.\\\\&\textup{dvs.}&t=\left\{\begin{matrix} -3\\3 \end{matrix}\right.\\\\\\b)&&\frac{\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d} t}=\mathbf{v}(t)=\begin{pmatrix} x{\, }'(t)\\ y{}'(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2t\\9-3t^2 \end{pmatrix}\\\\&\textup{retningsvektorer for }\\&\textup{tangenterne i P(11,0):}\\&&\mathbf{v}_1=\mathbf{v}(-3)=\begin{pmatrix}2\cdot (-3) \\9-3\cdot (-3)^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6 \\-18\end{pmatrix} \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #4
04. januar 2020 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllll}\textup{retningsvektorer for }\\\textup{tangenterne i P(11,0):}\\& \mathbf{v}_2=\mathbf{v}(3)=\begin{pmatrix}2\cdot 3 \\9-3\cdot 3^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\-18\end{pmatrix}\\\\\textup{vinklen mellem }\\\textup{tangenterne:}&\cos(v)= \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #5
04. januar 2020 af mathon

$\small \small \small \small \begin{array}{lllll}\textup{vinklen mellem }\\\textup{tangenterne:}&\cos(v)=\frac{\bigl(\begin{smallmatrix} -6\\-18 \end{smallmatrix}\bigr)\cdot \bigl(\begin{smallmatrix} 6\\-18 \end{smallmatrix}\bigr)}{36\cdot 10}=\frac{288}{36\cdot 10}=0.8\\\\&v=\cos^{-1}(0.8)=36.9\degree \end{array}$

Svar #6
04. januar 2020 af need4helplol (Slettet)

Tusind tak til jer alle for hjælpen! Og ja, enhver hjælp er værdsat :)

Brugbart svar (0)

Svar #7
04. januar 2020 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll}c)&\textup{for }&t=\left\{\begin{matrix} -\sqrt{3}\\0 \\\sqrt{3} \end{matrix}\right.&\textup{har grafen akseparallelle}&\textup{tangenter}\\\\ &\textup{tangenternes }\\&\textup{ligninger er:}\\&&\textup{for }t=0&\begin{pmatrix} -9\\0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-2\\y-0 \end{pmatrix}=0\\\\&&9x=18\\\\ &&\mathbf{\color{Red} x=2}\\\\ &&\textup{for }t=- \sqrt{3}&\begin{pmatrix} 0\\-2\sqrt{3} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-5\\y+6\sqrt{3} \end{pmatrix}=0\\\\&&\mathbf{{\color{Red} y=-6\sqrt{3}}}\\\\ &&\textup{for }t= \sqrt{3}&\begin{pmatrix} 0\\2\sqrt{3} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-5\\y-6\sqrt{3} \end{pmatrix}=0\\\\ &&\mathbf{{\color{Red} y=6\sqrt{3}}}\\\\ &\textup{areal af rektangel:}&A_{rekt}=&(11-2)\cdot \left ( 6\sqrt{3}-(-6\sqrt{3}) \right )=108\sqrt{3} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
04. januar 2020 af Capion1

Enhver hjælp indbefatter også en fiks og færdig aflevering.
Rigtig godt nytår her på SP.
# 0 Ved godt, at du ikke har bedt om en fiks og færdig aflevering, men det er der, for nogen, tradition for herinde at levere.

Skriv et svar til: Bestem gradtallet for den spidse vinkel mellem kurvens to tangenter i P

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.