Matematik

Bevis y´ = ky

15. januar 2020 af Lei20 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hejsa. Jeg er i gang med at forstå beviset for, at y´ = ky har den fuldstændige løsning y = C * e^kx hvor C er et tal.

Jeg har forstået alt ved beviset undtaget det der sker efter integrationen af 1/ydy og kdx:

ln(y) + c_1 = xk + c_2

ln(y) = xk + c_3

Hvorfor skal der være en konstant ved siden af ln(y)? Behøver man det? Og hvorfor bliver det til c_3, når konstanten kommer over på den anden side? Burde det ikke blive til c_1?

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. januar 2020 af mathon

Fordi en stamfunktion kun er bestemt på nær en integrationskonstant.

Brugbart svar (0)

Svar #2
15. januar 2020 af mathon

$\small \small \begin{array}{llllll} &\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=k\cdot y\\\\&\frac{1}{y}\, \mathrm{d} y=k\, \mathrm{d} x\\\\&\int\frac{1}{y}\, \mathrm{d} y=\int k\, \mathrm{d} x\\\\&\ln(\left | y \right |)=k\cdot x+\ln(\left | y_0 \right |)\\\\& | y| =e^{k\cdot x+\ln(\left | y_0 \right |)}\\\\& | y| =e^{k\cdot x}\cdot e^{\ln(\left | y_0 \right |)}\\\\&\left | y \right |=\left | y_0 \right |\cdot e^{k\cdot x} \end{array}$

Svar #3
16. januar 2020 af Lei20 (Slettet)

Jeg ved godt, at det ubestemte integral har en konstant, men hvordan kan det være, at der skal være en konstant på begge sider af lighedstegnet, så der står ln(y) + c_1 = kx + c_2 ??

Er beviset udført korrekt, hvis der kun er en integrationskonstant på højreside og ikke venstreside?

Brugbart svar (0)

Svar #4
16. januar 2020 af mathon

Almindeligvis noteres kun en konstant på den ene side:

ln(y) + c₁ = kx + c₂

ln(y) = kx + c₂- c₁

ln(y) = kx + c

Svar #5
16. januar 2020 af Lei20 (Slettet)

Så det vil også være korrekt at skrive: ln(y) = kx + c

Brugbart svar (0)

Svar #6
16. januar 2020 af mathon

ln(|y|) = kx + c

Skriv et svar til: Bevis y´ = ky

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.