Argumentere for at f er voksende..

Ja, det er for tyndt. Der er to muligheder. Enten kan du bevise, at der for alle med gælder , eller også kan du vise, at for alle i definitionsmængden, og der kun gælder i isolerede punkter.

# 1

En lille ændring til definitionen:

En funktion er voksende, hvis der for alle x₁, x₂, hvor x₁<x₂ gælder f(x₁) ≤ f(x₂).

Definitionen af voksende i #1 er korrekt.
Betingelsen i #2 gælder også for konstante funktioner.

Betingelsen for at f er voksende er at f '(x) > 0, dog må f '(x) godt være 0 i enkelte punkter (vandret vendetangent), men ikke i et interval (f konstant).

#1

#2

#3

Hvordan underøsges om f'(x)>0? Skal jeg sætte to vilkårlige tal ind på x's plads i f'(x) eller hvordan?

Det er en ulighed, der skal løses for x:

ganske som i ligningen:

men ligesom ligningen kan have flere løsninger, kan ulighedens løsning være et eller flere intervaller.

# 3 Uenig. Hvis definitionen i #1 er korrekt, så skelnes der ikke mellem en voksende og en streng voksende funktion.

# 4 Størrelsen f '(x₀) kan betragtes som hældningen for en tangent i punktet (x₀, f(x₀)).  Hvis f '(x₀) ≥ 0 vil funktionen f være voksende.

#4 Løs ligningen f '(x) = 0.
Hvis den ikke har løsninger, er f '(x) negativ eller positiv for alle x, når f er kontinuert.
Så kan du nøjes med at indsætte en enkelt x-værdi for at bestemme fortegnet for f '.

#6

# 3 Uenig. Hvis definitionen i #1 er korrekt, så skelnes der ikke mellem en voksende og en streng voksende funktion.

Du har ret, men det gør man heller ikke på gymnasielt niveau - der betyder voksende "strengt voksende".

# 4 Størrelsen f '(x₀) kan betragtes som hældningen for en tangent i punktet (x₀, f(x₀)).  Hvis f '(x₀) ≥ 0 vil funktionen f være voksende. Eller konstant.

Igen - på gymnasialt niveau skelnes mellem aftagende, koonstant og voksende.

#1

#5

#7

Jeg har differentieret f til at være f'(x)=7-sin(x). Men hvordan kan jeg løse ligningen uden hjælpemidler?:

0=7-sin(x)

sin(x)=7

...

Er der andre måder det kan regnes ud på, eller skal jeg konkludere noget ud fra ligningen selvom jeg ikke kan regne et eksakt resultat.

#9: Den ligning har ingen løsninger (-1 ≤ sin(x) ≤ 1). Se #7 igen!