Matematik

En homogen anden ordens lineær differensligning

01. maj 2020 af Lamborghini - Niveau: A-niveau

Hej venner

Jeg har virkelig brug for hjælp til at lave følgende opgave, som jeg vedhæfter som billede. Har haft dette emne under lukning af Danmark, hvilket har gjort at jeg ikke har forstået emnet grundigt. Hvordan ville man løse delpgave a), vil i vise mig hvordan det skal løses her i min opgave.

Og det er især delopgave b, der er jeg virkelig helt på bund. Synes det er virkelig svært at omskrive det til lukket form

Håber i vil hjælpe :)

Vedhæftet fil: Andenorden (2).png

Brugbart svar (0)

Svar #1
01. maj 2020 af AMelev

Se Def. 5 side 20. Bestem det karakteristiske polynomium til differensligningen.

Se Sætn. 3 side 20. Bestem diskriminanten D og rødderne for det karakteristiske polynomium og angiv derudfra den lukkede form.

Brugbart svar (0)

Svar #2
01. maj 2020 af Soeffi

#0.

Se evt. https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1957258.

Svar #3
01. maj 2020 af Lamborghini

Er der nogen som har mulighed for at vise mig eksempel med delopgave a)

Fordi det eksempel der er givet i kompendiet er ikke helt det samme og derfor har jeg svært ved at løse den. Har kigget på det flere gange nu.

Det ville være en enorm stor hjælp

Brugbart svar (1)

Svar #4
01. maj 2020 af Festino

a) Med $n=1$ giver differensligningen

$y_2=2y_1+3y_0=2\cdot 1+3\cdot 0=2+0=2$ .

Ved herefter at anvende differensligningen med $n=2$ får vi

$y_3=2y_2+3y_1=2\cdot 2+3\cdot 1=7$ .

Svar #5
01. maj 2020 af Lamborghini

Tusind tak Festino! !

Nu giver det bedre mening for mig

Jeg prøver lige, at l give opgaven med lukket form et forsøg :)

Brugbart svar (1)

Svar #6
01. maj 2020 af Festino

$y_{n+1}-2y_n-3y_{n-1}=0$ ,

er karakterligningen

$x^2-2x-3=0$ .

Vis at denne ligning har to forskellige løsninger, som vi kan kalde $x_1$ og $x_2$ . Løsningen til differensligningen på lukket form har så formen

$y_n=c_1 x_1^n+c_2 x_2^n$ ,

hvor $c_1$ og $c_2$ er konstanter. Ved henholdsvis at sætte $n=0$ og $n=1$ ind i ligningen for $y_n$ og benytte at $y_0=0$ og $y_1=1$ får vi to ligninger, hvoraf $c_1$ og $c_2$ kan bestemmes.

Svar #7
01. maj 2020 af Lamborghini

Skal det ikke være:

x² - 2x + 3 = 0

Det fordi i #6 har du skrevet minus foran 3-tallet, eller?

Svar #8
01. maj 2020 af Lamborghini

$x^2-2x-3=0$

Men når jeg løser denne ligning, så får jeg svarene: (håber det er passer)

x = -1

x = 3

Også kan vi skrive:

c1 * -1ⁿ + c2 * 3ⁿ

Festino, hvordan vil jeg herefter løse det her i hånden, fordi når jeg løser det ved hjælp af et Cas-værktøj, får jeg c1 = 0.5 og c2 = 0.5. Men opgaven skal løses i hånden.

Har du mulighed for at vise mig det? Det ville være et stort hjælp :)

Svar #9
01. maj 2020 af Lamborghini

Jeg tror, at jeg har lavet en beregningsfejl, fordi når jeg siger y(3) = 13, men det burde give 7 her

Brugbart svar (2)

Svar #10
01. maj 2020 af Festino

Husk parentes omkring -1:

$y_n=c_1(-1)^n+c_2 3^n$ .

Ved at sætte $n=0$ får vi

$0=c_1+c_2$

og med $n=1$ får vi

$1=-c_1+3c_2$ .

Ved at lægge de to ligninger sammen får vi $1=4c_2$ , hvorfor $c_2=\frac{1}{4}$ og $c_1=-\frac{1}{4}$ . Dermed har vi

$y_n=\frac{3^n-(-1)^n}{4}$ .

Svar #11
01. maj 2020 af Lamborghini

DU SKAL HAVE TUSIND TAK FOR HJÆLPEN!!, Festino :)

Brugbart svar (0)

Svar #12
02. maj 2020 af forvirretmatey

#10 hvordan er du gået fra den rigtige formel til (3^n-(-1)^n)/4

altså hvordan blev det til - for formlen er jo c1*x1^n + c2* x2^n

Brugbart svar (2)

Svar #13
02. maj 2020 af Festino

#12 Når vi sætter ind i formlen

$y_n=c_1 x_1^n+c_2 x_2^n$ ,

får vi

$y_n=-\frac{1}{4}\cdot(-1)^n+\frac{1}{4}\cdot3^n$ .

Her kan vi sætte 1/4 uden for en parentes, hvilket giver

$y_n=\frac{1}{4}\cdot\left(-(-1)^n+3^n\right)$ .

Man ganger en brøk med et tal ved at gange tælleren med tallet, hvilket giver os

$y_n=\frac{-(-1)^n+3^n}{4}$ .

Dette kan også skrives

$y_n=\frac{3^n-(-1)^n}{4}$ .

Skriv et svar til: En homogen anden ordens lineær differensligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.