Matematik

Hjælp til miniprojekt i matematik

07. maj 2020 af flottelise - Niveau: A-niveau

Hej

Jeg har nogen som driller mig her det er et miniprojekt om væskeudstrømning.

Her er formlen nemlig torricellis lov: ??h/????=−??⋅√h (1).

Forsøg at forklare med egne ord, hvorfor det giver god mening, at udstrømningshastigheden er størst, når vandstanden er størst? Kan du også med egne ord give en fysisk forklaring på, hvorfor der er et minustegn i formel (1).

Og her det andet som driller mig:

Find den fuldstændige løsning h(t) til (1) uden brug af CAS ved at bruge sætningen om separation af variable. Vink: jeg minder jer om √h=h½. Tjek efterfølgende din løsning med CAS.

Please hjælp

På forhånd tak

Svar #1
07. maj 2020 af flottelise

dh/dt=- k*√h

Brugbart svar (1)

Svar #2
07. maj 2020 af swpply (Slettet)

#0
Forsøg at forklare med egne ord, hvorfor det giver god mening, at udstrømningshastigheden er størst, når vandstanden er størst?

Udstrømningshastigheden v er givet ved

$v = \sqrt{2gh}$

hvilket er en monotont voksende funktion i variablen h (vandstanden). Altså er udstrømningshastigheden størst når h (og dermed vandstanden) er størst.

#0
Kan du også med egne ord give en fysisk forklaring på, hvorfor der er et minustegn i formel (1).

Fordi det forventes at vandstanden aftager med tiden (her er det anteget at k > 0).

#0
Find den fuldstændige løsning h(t) til (1) uden brug af CAS ved at bruge sætningen om separation af variable.

$\begin{align*} \frac{dh}{dt} = -k\sqrt{h} \quad&\Rightarrow\quad \int\frac{1}{\sqrt{h}}\,dh = -k\int\,dt \\ \quad&\Rightarrow\quad2\sqrt{h} = C -kt \end{align*}$

Alternativt kan du også løse den som følgende

$\begin{align*} h^\prime = -k\sqrt{h} \quad&\Leftrightarrow\quad -\frac{k}{2} = \frac{h^\prime}{2\sqrt{h}} = \frac{d}{dt}\big(\sqrt{h}\big) \\ \quad&\Leftrightarrow\quad -\frac{k}{2}\int_0^t du = \int_0^t\frac{d}{du}\big(\sqrt{h(u)}\,\big)\,dy \\ \quad&\Leftrightarrow\quad -\frac{k}{2}t = \sqrt{h(t)} - \sqrt{h(0)} \\ \quad&\Leftrightarrow\quad h(t) = \bigg(\sqrt{h(0)} - \frac{k}{2}t\bigg)^2 \end{align*}$

Svar #3
07. maj 2020 af flottelise

Tusind tak for hjælpen

Brugbart svar (1)

Svar #4
07. maj 2020 af swpply (Slettet)

#3
Tusind tak for hjælpen

Velbekommen. Hvis du ønsker en lidt mere uddybende gennemgang kan jeg henvise dig til kapitel 7 (Infinitesimale modeller) afsnit 6 (Afløb fra en væskebeholder) i bogen MAT A3 (stx) af J. Frandsen, J. Carstensen og J. Studsgaard udgivet af forlaget Systime (LINK).

Svar #5
07. maj 2020 af flottelise

Der er bare et problem og det er at man skal have en konto for at læse det min ven

Brugbart svar (0)

Svar #6
07. maj 2020 af swpply (Slettet)

#5
Der er bare et problem og det er at man skal have en konto for at læse det min ven

Hvilken lærebog bruger I i undervisningen?

Svar #7
07. maj 2020 af flottelise

Vi bruger den her Kernestof Mat 3 stx det er en fysisk bog

Brugbart svar (1)

Svar #8
07. maj 2020 af swpply (Slettet)

Nu kigget jeg lige hurtigt rundt på the world wide web og fandt dette. Velbekommen ;-)

Svar #9
07. maj 2020 af flottelise

tusind tak min ven

Svar #10
07. maj 2020 af flottelise

4) Eftervis nu uden brug af CAS at den partikulære løsning til (1) for netop h(0)=h0 er givet ved formlen h(??)=(√h0−??2⋅??)2.

den her driller mig lidt min ven tror du at kan hjælpe mig.

Svar #11
07. maj 2020 af flottelise

Brugbart svar (1)

Svar #12
07. maj 2020 af swpply (Slettet)

#11
h(??)=(√h0−??2⋅??)2

Du ønsker at skrive

$h(t) = \bigg(\sqrt{h_0} - \frac{k}{2}t\bigg)^2$

ikke sandt?

Svar #13
07. maj 2020 af flottelise

Her miniprojekt og det er spørgsmål 4 som driller mig en del

Vedhæftet fil:Miniprojekt om væskeudstrømning.pdf

Svar #14
07. maj 2020 af flottelise

Brugbart svar (1)

Svar #15
07. maj 2020 af swpply (Slettet)

Du efterviser at

$h(t) = \bigg(\sqrt{h_0} - \frac{k}{2}t\bigg)^2$

er en løsning til differentialligningen

$h^\prime(t) = -k\sqrt{h(t)}$

ved at gøre prøve. Altså

$\begin{align*} h^\prime(t) &= \frac{d}{dt}\bigg(\sqrt{h_0} - \frac{k}{2}t\bigg)^2 \\ &= 2\underbrace{\bigg(\sqrt{h_0} - \frac{k}{2}t\bigg)}_{\sqrt{h(t)}}\cdot\underbrace{\frac{d}{dt}\bigg(\sqrt{h_0} - \frac{k}{2}t\bigg)}_{-k/2} \\ &= 2\sqrt{h(t)}\cdot(-1)\frac{k}{2} \\ &= -k\sqrt{h(t)} \end{align*}$

altså er h(t) en løsning.

Svar #16
07. maj 2020 af flottelise

Tusind tak

Brugbart svar (1)

Svar #17
07. maj 2020 af swpply (Slettet)

Prøv iøvrigt om dette LINK ikke virker.

Svar #18
07. maj 2020 af flottelise

Forsøg at forklare med egne ord, hvorfor det giver god mening, at udstrømningshastigheden er ligefrem proportionelt med Ahul. og omvendt proportionelt med Acyl.

Den her driller

Svar #19
07. maj 2020 af flottelise

jo linket virker

Svar #20
08. maj 2020 af flottelise

Hej igen

Jeg har en øldåse med målene Acyl=27cm^2 h=11cm Ahul=2,5 cm

Den her opgave driller mig en hel del

Find en regneforskrift for den partikulære løsning til situationen og tegn en graf for væskehøjde som funktion af tiden. Kommentér grafens forløb i det relevante interval.

Please hjælp

På forhånd tak

Skriv et svar til: Hjælp til miniprojekt i matematik

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.