Matematik

Opstil en differentialligning ud fra oplysninger

09. maj kl. 10:51 af meitner - Niveau: A-niveau

Hej, 

Jeg sidder med vedhæftede opgave, hvor jeg har lidt svært med at komme i gang. Jeg ved ikke hvilken type differentialligning den i opgaven følger. 

- Tak på forhånd


Svar #1
09. maj kl. 10:52 af meitner

Her:


Brugbart svar (0)

Svar #2
09. maj kl. 11:18 af ringstedLC

Du skal se på tilførslen af kvælstof pr. sek. og afgøre væksttypen.


Svar #3
09. maj kl. 11:37 af meitner

Jeg har sagt, at der i søen tilføres 150 mg pr. sek fra vandløb 1 og 600 mg pr. sek fra vandløb to. Så jeg ved ikke, om det så er proportional vækst? Er lidt i tvivl, fordi samtidig er der også vand, som fordamper og ryger ud i et tredje vandløb, og jeg forstår ikke, hvordan det skal med ind i ligningen.


Brugbart svar (1)

Svar #4
09. maj kl. 12:47 af ringstedLC

#3: Ja, altså 150 + 600 = 750 mg pr. sek. Det betyder, at N(t) er lineær (b = 250 · 106).

Vedr. din tvivl:

Antag at kvælstoffet bliver i søen fordi det ikke oplyses, om der forsvinder noget.


Brugbart svar (0)

Svar #5
09. maj kl. 14:25 af AMelev

Som jeg læser det, tilføres der 350L, hvoraf 4L fordamper, og 346L løber ud. Det, der løber ud, må have samme koncentration, som vandet i søen.
Hvis vi antager, at det tilførte vand ikke når at blande sig med det, der løber væk, er koncentrationen (mg/L)
C(t) = N(t)/(120·106). Der forsvinder således ..... mg kvælstof ud i det tredje vandløb
Nettotilførslen (mg pr. sek.) er da N'(t) = 750 - .....


Svar #6
09. maj kl. 14:40 af meitner

Jeg er med på det første stykke, og at koncentrationen er N(t)/(120*10^6), men forstår ikke helt, hvordan ved, hvor meget kvælstof der ryger ud af det tredje vandløb? 


Brugbart svar (0)

Svar #7
09. maj kl. 15:10 af AMelev

Der forsvinder 346L med en koncentration på C(t) mg/L, altså 346·C(t) mg.


Svar #8
09. maj kl. 15:23 af meitner

Så nettotilførsel er altså N'(t) = 750 - 346*c(t)?

I opgaven skal jeg også bestemme indholdet i søen efter 5 måneder, men så forstår jeg ikke hvordan man gør..


Brugbart svar (1)

Svar #9
09. maj kl. 15:46 af Soeffi

#0. Du har: N'(t) = NA(t) + NB(t) - NC(t) 

NA(t) = VA·CA = (50 L/s)·(3 mg/L) = 150 mg/s

NB(t) = VB·CB = (300 L/s)·(2 mg/L) = 600 mg/s

NC(t) = VC·CC = (VA+VB-VD)·(N(t)/V) = (50+300-4)·N(t)/(120·106 L) = (2,833·10-6 s-1)·N(t)

N'(t) = (150 mg/s + 600 mg/s) - (2,833·10-6 s-1)·N(t) = 750 mg/s - (2,833·10-6 s-1)·N(t), N(0) = 250·106 mg.

V står for volumen pr. sek. af væske, C for koncentration af kvælstof.


Svar #10
09. maj kl. 16:23 af meitner

Tusind tusind tak for hjælpen!! Kan det dog virkelig passe, at indholdet af kvælstof i søen så er nogenlunde konstant, selvom der går længere tid? Jeg har fundet N(t) nu nemlig, og efter 5 måneder er helt samme koncentration som i starten af målingerne.


Brugbart svar (0)

Svar #11
09. maj kl. 18:02 af Capion1

# 10
N(t) er søens indhold af kvælstof til tiden t i sek efter at indholdet, til tiden 0, var 250 mio mg.
Idet  11 døgn = 950400 sek og 12 døgn = 1036800 sek
finder vi, at søen må være kvælstoffri imellem 11 og 12 døgn efter, der blev målt første gang.
  


Brugbart svar (0)

Svar #12
09. maj kl. 20:21 af AMelev

#10 Hvad får du N(t) til? Jeg får N(t) = 2.60116·108-1.01156·100.999997t .
5 mdr. er ca. 12960000 sek. og på det tidspunkt er kvælstofindholdet iflg. modellen 259.6·106 mg, altså 9.6·106 mg = 9.6 kg større end ved begyndelsen.

#11 Hvordan får du søen til at blive kvælstoffri? Der tilføres vel mindst lige så meget, som der forsvinder? 
Jeg får en øvre grænse på 2.6·108 mg.


f(x) ~ N(t)

Vedhæftet fil:Udklip.JPG

Brugbart svar (0)

Svar #13
09. maj kl. 20:22 af Soeffi

#10. Antag at man har differentialligningen: N'(t) = a - b·N(t), N(0) = c. Den viser, at N(t) starter ved c og nærmer sig a som en eksponentiel udvikling.

Brugbart svar (0)

Svar #14
09. maj kl. 20:24 af Capion1

.SP 090520202024.JPG

Vedhæftet fil:SP 090520202024.JPG

Svar #15
09. maj kl. 22:55 af meitner

#12 jeg får N(t) til det helt samme - men jeg har vist også fundet af det nu.
Tak for al hjælp :)

Brugbart svar (0)

Svar #16
09. maj kl. 23:05 af Capion1

Med begyndelsesbetingelserne får jeg:

         N(t) = 106· ( 264,737 - 14,737·exp(- 2,833·10- 6 ·t) )
som forskrift for kurven # 14


Brugbart svar (0)

Svar #17
09. maj kl. 23:23 af Capion1

# 11, 14, 16
Ja, beklager, men har overset, at der er et minus i argumentet for exp.
Grænseværdien  N(t) → 264,737·106 for t → ∞ er da rigtignok.
Ja, - et lille minus med den store virkning.


Brugbart svar (0)

Svar #18
10. maj kl. 11:27 af AMelev

Ad #13 

#10. Antag at man har differentialligningen: N'(t) = a - b·N(t), N(0) = c. Den viser, at N(t) starter ved c og nærmer sig som en eksponentiel udvikling.

y'=a-b\cdot y\Leftrightarrow y=\frac{a}{b}+c\cdot e^{-b\cdot x}, (Jf. STXA-formelsamling (177) side 29), 
c=y_0-\frac{a}{b}=N(0)-\frac{a}{b} og øvre grænse er \frac{a}{b}.


Brugbart svar (0)

Svar #19
10. maj kl. 12:22 af Soeffi

#18.

Øvre grænse = a/b er rigtigt, men det er et andet c, jeg taler om.


Brugbart svar (0)

Svar #20
10. maj kl. 17:06 af Capion1

ad # 16, # 17
Med en præcis heltallig nedskrivning af forskriften

    N(t)=\frac{250\cdot 10^{6}}{173}\left ( 180-7\cdot \exp (-\frac{173}{60\cdot 10^{6}}\cdot t) \right )

er grænseværdien, for t → \infty ,  \frac{250\cdot 180\cdot 10^{6}}{173}     som også stemmer med # 12.   
 


Skriv et svar til: Opstil en differentialligning ud fra oplysninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.