Matematik

Eksamensspørgsmål om linjer

27. juli 2020 af daarligeMien - Niveau: A-niveau

Hej, jeg skal snart til eksamen og er lidt i tvivl om dette spørgsmål. Jeg kan naturligvis godt regne ud hvad redegøre for vektorer og determinant betyder. Men hvordan ville i gribe delen som hedder: " Gør rede for beskrivelsen af linjer og cirkler med ligninger og med parameterfremstilling"? Hvad skal jeg forklare der?

Sidder med min lærebog, men kan ikke helt finde ud af det.

Vedhæftet fil: matshat.JPG

Brugbart svar (0)

Svar #1
27. juli 2020 af peter lind

linje y = a*x +b r = a +v*t

se i øvrigt din formelsamling side 13-14 og side 32

Brugbart svar (0)

Svar #2
27. juli 2020 af mathon

Svar #3
28. juli 2020 af daarligeMien

#1 Jeg forstår ikke helt, hvad det er du mener.

Brugbart svar (0)

Svar #4
28. juli 2020 af mathon

Er $\small \overrightarrow{n}=\bigl(\begin{smallmatrix} a\\b \end{smallmatrix}\bigr)$ en normalvektor for linjen $\small l$ , hvorpå det stationære punkt $\small P_o(x_o,y_o)$ og det variable punkt $\small P(x,y) \neq P_o$ ligger, er $\small \overrightarrow{n}$ og $\small \overrightarrow{P_oP}$ ortogonale vektorer,
hvorfor linjen $\small l\textup{'s}$ punkter opfylder:
$\small \small \begin{array}{lllll} l\textup{:}&\left \{ (x,y)\mid \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{P_oP}=0 \right \}\\\\ l\textup{:}&\left \{ (x,y)\mid \bigl(\begin{smallmatrix} a\\b \end{smallmatrix}\bigr)\cdot \bigl(\begin{smallmatrix} x-x_o\\y-y_o \end{smallmatrix}\bigr)=0 \right \}\\\\ l\textup{:}&\left \{ (x,y)\mid a\cdot (x-x_o)+b\cdot (x-x_o)=0 \right \} \end{array}$

som er den rette linje $\small l\textup{'s}$ ligning.

Brugbart svar (1)

Svar #5
28. juli 2020 af mathon

Er $\small \overrightarrow{r}=\bigl(\begin{smallmatrix} a\\b \end{smallmatrix}\bigr)$ en normalvektor for linjen $\small l$ , hvorpå det stationære punkt $\small P_o(x_o,y_o)$ og det variable punkt $\small P(x,y) \neq P_o$ ligger, opfylder linjen $\small l\textup{'s}$ punkter:

$\small \begin{array}{lllll} l\textup{:}&\left \{ (x,y)\mid \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OP_o}+t\cdot \overrightarrow{r},\quad t\in\mathbb{R} \right \}\\\\ l\textup{:}&\left \{ (x,y)\mid \bigl(\begin{smallmatrix} x\\y \end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix} x_o\\y_o \end{smallmatrix}\bigr)+t\cdot \bigl(\begin{smallmatrix} a\\b \end{smallmatrix}\bigr) \right\},\quad t\in\mathbb{R}\}\\\\ \end{array}$

som er en parameterfremstilling for $\small l.$

Brugbart svar (1)

Svar #6
28. juli 2020 af mathon

Er $C(a,b)$ centrum for og $\small r$ radius for cirklen $\small c$ , hvorpå det variable punkt $P(x,y)$ ligger, opfylder cirklen $c\textup{'s}$ punkter (Pythagoras):

$\small \begin{array}{lllll} c\textup{:}&\left \{ (x,y)\mid (x-a)^2+(y-b)^2=r^2\right \} \end{array}$

som er en ligning for cirklen $\small c.$

Brugbart svar (1)

Svar #7
28. juli 2020 af mathon

Er $C(a,b)$ centrum for og $\small r$ radius for cirklen $\small c$ , hvorpå det variable punkt $P(x,y)$ ligger, opfylder, når $\varphi\in\left [ 0;2\pi \right ]$ er retningsvinklen for vektor $\small \overrightarrow{CP}$ , cirklen $c\textup{'s}$ punkter:

$\small \small \small \begin{array}{lllll} c\textup{:}&\left \{ (x,y)\mid \begin{pmatrix} x-a=r\cdot \cos(\varphi)\\ y-b=r\cdot \sin(\varphi) \end{pmatrix}\right \}\\\\ c\textup{:}&\left \{ (x,y)\mid \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+r\cdot \cos(\varphi)\\b+r\cdot \sin(\varphi)\end{pmatrix}\right \} \end{array}$

som er en parameterfremstilling for cirklen $\small c.$

Brugbart svar (0)

Svar #8
28. juli 2020 af mathon

korrektion til #5:
ordet normalvektor $\small \xrightarrow[\textup{ordet}]{\textup{erstattes af }}$ retningsvektor

Brugbart svar (0)

Svar #9
05. august 2020 af mathon

På linjen $\small l$ med normalvektor $\small \overrightarrow{n}=\bigl(\begin{smallmatrix} a\\b \end{smallmatrix}\bigr)$ afsættes et fast punkt $\small P_o(x_o,y_o)$ .
Et vilkårligt punkt $\small P(x,y)$ , som ikke ligger på $\small l$ afsættes.
Vinklen mellem $\small \overrightarrow{P_oP}$ og $\small \overrightarrow{n}$ kaldes $\small v.$

Af skitsen ses, at $\small P$ 's afstand (dist) til $\small l$
kan udtrykkes:
$\small \small \begin{array}{lllll} \textup{dist}\left ( l,P \right )=\left | \overrightarrow{P_oP}\cdot \cos(v) \right |=\left | \frac{\overrightarrow{n}}{\left | \overrightarrow{n} \right |} \right |\cdot \left | \overrightarrow{P_oP}\cdot \cos(v) \right |=\frac{\left | \overrightarrow{n} \right |\cdot \left | P_oP \right |\cdot \left |\cos(v) \right |}{\left | \overrightarrow{n} \right |}=\frac{\left | \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{P_oP} \right |}{\left | \overrightarrow{n} \right |}\\\\ \textup{dist}\left ( l,P(x,y) \right )=\frac{\left |\bigl(\begin{smallmatrix} a\\b \end{smallmatrix}\bigr)\cdot \bigl(\begin{smallmatrix} x-x_o\\ y-y_o \end{smallmatrix}\bigr) \right |}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\left | a\cdot x+b\cdot y+c \right |}{\sqrt{a^2+b^2}}\qquad c=-a\cdot x_o-b\cdot y_o \\\\ \textup{hvor }\quad ax+by+c=0\quad \textup{er }l\textup{'s ligning.} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #10
05. august 2020 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} \textup{da}&\left | \frac{a}{b} \right |=\frac{\left | a \right |}{\left | b \right |}\\ \textup{og}\\& \left | a\cdot b \right |=\left | a \right |\cdot \left | b \right | \end{array}$

Skriv et svar til: Eksamensspørgsmål om linjer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.