Matematik

Finde det næstmindste hele tal n, så sqrt(1+2+3+..+n) er et helt tal.

11. august kl. 04:01 af Gauss10 - Niveau: A-niveau

Hej,

Jeg skal bestemme både det mindste og det næstmindste hele tal n, så \sqrt{1+2+3+...+n} er et helt tal.

Jeg har manuelt udregnet mig frem til det mindste tal, n = 8, ved at starte med n = 4 og regne op til n = 8. For at finde det næstmindste hele tal, har jeg prøvet at opstille udregningerne frem til n = 8 og derved undersøge, om jeg kunne finde et mønster, evt. ved primfaktoropløsning. For n = 8 giver det

1+2+3+...+8=36=6^2=2^2\cdot3^2.

Jeg kunne ikke finde et mønster, så jeg kan ikke komme videre. Håber der er nogen, der kan hjælpe.


Brugbart svar (1)

Svar #1
11. august kl. 07:51 af Eksperimentalfysikeren

Det mindste tal er ikke 8. Det er mindre!


Brugbart svar (0)

Svar #2
11. august kl. 09:35 af Soeffi


Brugbart svar (0)

Svar #3
11. august kl. 09:37 af mathon

Opgaven er jo nok ment
som:
                                             \small \begin{array}{lllll} \sqrt{1+2+3+...+...n}\in\mathbb{N}\quad \wedge \quad n \in N \setminus \left \{ 1 \right \} \end{array}
 


Brugbart svar (0)

Svar #4
11. august kl. 09:59 af mathon

#0

       Bemærk:
                             \small \small \begin{array}{lllll} 1+2+3+...+n=\frac{n\cdot (n+1)}{2} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #5
11. august kl. 14:22 af Soeffi

#2.

Brug evt Eulers formel, som nævnes i artiklen:

N_k=\left ( \frac{(3+2\sqrt{2})^k-(3-2\sqrt{2})^k}{4\sqrt{2}} \right )^2

der giver:...

N_1=\left ( \frac{(3+2\sqrt{2})-(3-2\sqrt{2})}{4\sqrt{2}} \right )^2=\left ( \frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} \right )^2=1

N_2=\left ( \frac{(3+2\sqrt{2})^2-(3-2\sqrt{2})^2}{4\sqrt{2}} \right )^2=

\left ( \frac{(9+12\sqrt{2}+8)-(9-12\sqrt{2}+8)}{4\sqrt{2}} \right )^2=\left ( \frac{24\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} \right )^2= 6^2=36


Brugbart svar (0)

Svar #6
11. august kl. 15:01 af StoreNord

Hvorfor  må n ikke bare være 10?      Så er kvadratroden = 4.


Brugbart svar (0)

Svar #7
11. august kl. 15:23 af Soeffi

#5.

N_k=\left ( \frac{(3+2\sqrt{2})^k-(3-2\sqrt{2})^k}{4\sqrt{2}} \right )^2

I denne formel er Nk summen af tallene fra 1 til k (trekantstallet for k), hvor k er et naturligt tal. Tallet k svarer til n i opgaven.


Svar #8
11. august kl. 16:24 af Gauss10

Tak for alle svarene!

Jeg har fået opgivet facit som n = 8 og n = 49.

Undskyld, hvis jeg ikke var klar nok i formulering af opgaven. Det er rigtigt, som #3 siger, at n = 1 er ekskluderet som løsning.

#6

Hvorfor  må n ikke bare være 10?      Så er kvadratroden = 4.


Talrækken 1+2+3+...+n skal forstås som en talfølge, hvor forskellen på hvert tal er 1. Så n = 10 giver

\sqrt{1+2+3+4+5+6+7+8+9+10}=\sqrt{55}..

#2. Jeg har kigget på det, og ved indsættelse af k = 3 får jeg

N_3=\left(\frac{(3+2\sqrt2)^3-(3-2\sqrt2)^3} {4\sqrt2} \right)^2=1225 \hspace{.5cm} hvor \hspace{.5cm} \sum_{i=1}^{49} i=1225,

men hvordan kommer jeg frem til n = 49 ud fra 1225 og det samme for n = 8 ud fra 36, uden at kende til facit på forhånd?

#4. Du har ret, den lighed har jeg set før. Men hvordan bruger jeg den oplysning til til at finde n, hvor talfølgen skal være et kvadrattal, andet end at gætte og indsætte et tal på n's plads fra 4 indtil jeg støder på et kvadrattal?


Brugbart svar (0)

Svar #9
11. august kl. 18:00 af Soeffi

#8. Undskyld k er ikke n, men det k'te trekanttal som også er et kvadrattal.

Man løser:

N_k=\left ( \frac{(3+2\sqrt{2})^k-(3-2\sqrt{2})^k}{4\sqrt{2}} \right )^2=\frac{n(n+1)}{2}

med hensyn til n for k = 3. N3 = 1225 = 352 ⇒ n = 49.


Brugbart svar (0)

Svar #10
11. august kl. 22:17 af mathon

\small \begin{array}{llllll} \sqrt{\frac{n\cdot (n+1)}{2}}\\& \begin{array}{lll} \sqrt{\frac{\mathbf{{\color{Red} 8}}\cdot 9}{2}}=\sqrt{2^2\cdot 3^2}=\sqrt{(2\cdot 3)^2}=\sqrt{6^2}=6\\\\ \sqrt{\frac{\mathbf{{\color{Red} 49}}\cdot 50}{2}}=\sqrt{7^2\cdot 5^2}=\sqrt{\left ( 7\cdot 5 \right )^2}=\sqrt{35^2}=35 \end{array} \end{array}


Svar #11
12. august kl. 01:23 af Gauss10

Jeg har forstået det nu og fået indsigt i trekanttal og talfølger. Tak for hjælpen.


Brugbart svar (0)

Svar #12
12. august kl. 21:33 af Eksperimentalfysikeren

Jeg skal bestemme både det mindste og det næstmindste hele tal n, så \sqrt{1+2+3+...+n} er et helt tal.

8 er hverken det første eller andet tal, der opfylder betingelsen.

n=0 giver summen 0, hvis kvadratrod er 0. n=1 giver summen 1, hvis kvadratrod er 1.

I#2 er der et link til en Wikipediaside, hvor der næsten øverst står en talrække med de første tal, der opfylderbetingelsen:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025 (sequence A001110 in the OEIS)

Der er ikke bedt om et naturligt tal forskelligt fra 1. Der er bedt om et helt tal. n kan ikke være negativ, for så giver "1+2+3+..+n"  ikke mening. For n=0 har man den tomme sum, som pr definition er 0.


Brugbart svar (0)

Svar #13
15. august kl. 13:30 af Soeffi

#9. Formlen for det k'te n, der giver et trekanttal, som også er et kvadrattal:

n_k=\tfrac{1}{\sqrt{16}} \cdot \sqrt{(3-2 \sqrt{2})^{2k}+(3-2 \sqrt{2})^{-2k}+2}-\tfrac{1}{2}

n1 = 1
n2 = 8
n3 = 49
n4 = 288


Brugbart svar (0)

Svar #14
15. august kl. 23:38 af Eksperimentalfysikeren

\\n_{0} = \frac{1}{\sqrt{16}}\sqrt{(3-2\sqrt{2})^{2k}+(3-2\sqrt{2})^{-2k}+2}-\frac{1}{2} \\=\frac{1}{4}\sqrt{(3-2\sqrt{2})^{0}+(3-2\sqrt{2})^{0}+2}-\frac{1}{2} \\=\frac{1}{4}\sqrt{1+1+2}-\frac{1}{2} \\=\frac{1}{4}*2 -\frac{1}{2}\\=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}= 0

0 opfylder betingekserne og kan findes med formlen,så det næstlaveste er 1.


Brugbart svar (0)

Svar #15
16. august kl. 00:42 af Soeffi

#13. Rettelse: 

n_k=\tfrac{1}{4} \cdot \sqrt{(3-2 \sqrt{2})^{2k}+(3-2 \sqrt{2})^{-2k}+2}-\tfrac{1}{2}


Skriv et svar til: Finde det næstmindste hele tal n, så sqrt(1+2+3+..+n) er et helt tal.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.