Matematik
Bevis √2 + √3 er irrational
Jeg har bevist det på følgende måde. Er det korrekt
Vi skal afgøre om √2+√3 er irrational.
Vi vil bevise ved modstrid, at summen af de to tal irrationale. Derfor antager vi, at summen af de to tal er rationale.
Lad summen af de to tal være givet ved
√2+√3=a/b
Hvor a og b er heltal og b ≠0. Vi sætter begge sider i anden potens
(√2+√3)^2=(a/b)^2
?√2?^2+?√3?^2+2·√2·√3=a^2/b^2
5+2·√6=a^2/b^2
2·√6=a^2/b^2 -5
2·√6=a^2/b^2 -5/1
2·√6=(a^2-5b^2)/b^2
√6=(a^2-5b^2)/?2b?^2
a og b er heltal, (a^2-5b^2)/2ab⇒ så √6 er rational. Men vi ved, at √6 er et irrational tal og dermed har vi ved modstrid bevist, at √2+√3 er irrational.
Svar #2
13. september 2020 af Anders521
#0 Det er fint, såfremt du har bevist, at √6 faktisk er irrational. Ellers skal dette også vises.
Svar #3
13. september 2020 af Anders521
#0 I et andet indlæg har du vist at √3 er irrational. I så fald kan følgende bevis være et alternativ til dit.
Bevis Antag for modtrid, at √2 + √3 ∈ Q . Sæt γ :=√2 + √3. Det er nu klart γ > 0 og ved omskrivning haves ligningen γ - √3 = √2. Kvadreres der fås γ2 - 2γ√3 + 3 = 2. Det følger deraf, at √3 = (γ2 + 1)/2γ, hvor (γ2 + 1)/2γ ∈ Q. Men det er tidligere bevist, at √3 ∉ Q. Altså er der en modstrid, og det konkluderes, at √2 + √3 ∉ Q.
Skriv et svar til: Bevis √2 + √3 er irrational
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.