Bevis at √3 er irrational

ja

Kan man bevise det på denne måde?

Vi skal bevise, at √3 er irrational. Vi viser sætningen ved et modstridsargument. Vi antager, at √3 er rational. Vi skal bestemme hele tal m,n, så √3=m/n. Vi kan antage, at vi har forkortet brøken så meget som muligt, så intet helt tal går op i både m og n. Det følger da af definitionen af √3, at 
3=?(√3)?^2=(m/n)^2=m^2/n^2 
Hvorfra vi slutter at
m^2=3n^2
Ifølge definitionen på lige tal betyder dette, at m^2 er lige, hvorfor m ifølge sætning 49 selv er lige. Altså findes et naturligt tal p så m=3p. Men så får vi
3^2·p^2=(3p)^2=m^2=3n^2
Hvoraf 
3p^2=n^2
Heraf ses, at n^2 er lige og derfor lige ifølge sætning 49, at n er lige og altså af formen 3q for et naturligt tal q. Men det betyder, at 3 går op i både m og n i modstrid med, at vi havde antaget, at de ikke havde nogen fælles divisorer. Altså har antagelsen om, at √3 var rational ført til en modstrid, og vi slutter, at √3 er irrational. 

#3 Ja, du kan godt bruge et modstridsargument her. Men der er noget, der virker forkert med dit argument. Hvis vi forkorter brøken m/n så meget som muligt (som du siger), så er den største fælles divisor af m og n tallet 1, dvs. sfd(m,n) = 1. Men i næstsidste linje siger du at "de ikke havde nogen fælles divisorer". Undervejs i dit bevis, måtte du have nået frem til, at m og n pludselig har tallet 3 som fælles divisor, hvilket er en modstrid til antagelsen, at sfd(m,n) = 1, idet 1 < 3.

Hvad med nu

Vi skal bevise, at √3 er irrational. Vi viser sætningen ved et modstridsargument. Vi antager, at √3 er rational. Dermed kan vi skrive √3 på formen √3=m/n, hvor m og n er heltal og forkortet så meget som muligt. De har ingen fælles divisor udover 1. m og n kan altså ikke begge to være lige. Vi kvadrerer på begge sider af lighedstegnet og får
3=?(√3)?^2=(m/n)^2=m^2/n^2 
Hvorfra vi slutter at
m^2=3n^2
Det betyder, at 3 går op i m^2 og m. Ifølge definitionen på lige tal betyder dette, at m^2 er lige, og derfor er m ifølge sætning 49 selv lige. Vi sætter m=3p, hvor p ? Z og får 
3^2·p^2=(3p)^2=m^2=3n^2
Hvoraf 
3p^2=n^2
Man kan se, at m og n har tallet 3 som fælles divisor. I starten antog vi, at m/n var blevet reduceret så meget som muligt og ikke havde nogen fælles divisor udover 1. Men nu har vi bevist, at både m og n er lige og har fælles divisor 3. Det betyder altså, at m/n kan reduceres. Dermed har antagelsen om, at √3 var rational ført til en modstrid, og vi konkluderer, at √3 er irrational. 

Lad  være en uforkortelig brøk, p, q ∈ N . Da har vi   p² = 3q².       p² er da delelig med 3.
Benyt, at hvis et primtal går op i et produkt, går primtallet op i mindst én af faktorerne.
p² er da delelig med 3 og dermed p er delelig med 3.
Der findes således et tal r ∈ N så p = 3r. Men da vi har antaget, at  er uforkortelig, kan 3 ikke gå op i p.
√3 må derfor være et irrationalt tal. 

#6 Nej, afsnittet 

Det betyder, at 3 går op i m^2 og m. Ifølge definitionen på lige tal betyder dette, at m^2 er lige, og derfor er m ifølge sætning 49 selv lige. Vi sætter m=3p, hvor p ? Z og får 
3^2·p^2=(3p)^2=m^2=3n^2 

giver ikke mening. Hvis 3 er en divisor af m², er 3 også en divisor af m. Dette er fint, men inddragelsen af lige tal skal udelades. Det er klart m=3p ikke er et lige tal for ethvert p∈Z. F.eks. med p = 1 er m = 3·1 = 3 ikke et lige tal.

Hvis √3 er rational så findes heltallig m, n så √3 = m/n, dvs. 3n² = m².

I primfaktoropløsningen af 3n² indgår 3 med ulige eksponent.
I primfaktoropløsningen af m² indgår 3 med lige eksponent.

Dvs. 3n² ≠ m², hvilket er en modstrid, så √3 er irrational.