Matematik

integration ved substitution

26. oktober 2020 af Blithe - Niveau: A-niveau

Hej SP

Hvordan ville I løse denne opgave?

Bestem ved brug af integration ved substitution den stamfunktion til funktionen

$g(x)=\frac{4x}{x^2+1}$

hvis graf har linjen y = −2x −2 som tangent.

Brugbart svar (1)

Svar #1
26. oktober 2020 af peter lind

Brug substitutionen t = x²+1 dt =2xdx

Svar #2
26. oktober 2020 af Blithe

#1
Brug substitutionen t = x²+1 dt =2xdx

Ok. Det har jeg gjort nu:

$g(x)=\frac{4x}{x^2+1}$

$t=x^2+1$

$\frac{dt}{dx}=2x$

$dx=\frac{1}{2x}*dt$

Indsætter t og dx

$\int \frac{4x}{t}*\frac{1}{2x}*dt$

$\int \frac{4x}{t*2x}*dt$

$\int \frac{2}{t}*dt$

$=2ln|t|+k$

Indsætter t

$\int\frac{4x}{x^2+1}dx=2ln(x^2+1)+k$

Hvordan bestemmer jeg så stamfunktionen, hvis graf har linjen y=-2x-2 ?

Brugbart svar (1)

Svar #3
26. oktober 2020 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllllll} \textup{Substitution:}\\& \begin{array}{lllllll} G(x)=\int \frac{4x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x=\int \frac{1}{x^2+1}\,4x\mathrm{d}x=2\cdot \int \frac{1}{t} \,\mathrm{d}t=2\cdot \ln(t)+k=2\cdot \ln(x^2+1)+k\\\\\ G{\,}'(x_o)=g(x_o)=-2\\\\ \frac{4x_o}{{x_o}^2+1}=-2\\\\ 4x_o=-2({x_o}^2+1)\\\\ 2x_o=-({x_o}^2+1)\\\\ {x_o}^2+2x_o+1=(x_o+1)^2=0\\\\ x_o=-1\end{array}\\\\ \textup{R\o ringspunkt R:}&y_o=-2\cdot x_o-2\\\\& \begin{array}{lllllll} y_o=-2\cdot (-1)-2=0\\\\ R=(-1,0)\qquad R\textup{ er f\ae lles for grafen for }G\textup{ og tangenten i }R\\\\\\ G(-1)=2\cdot \ln((-1)^2+1)+k=0\\\\ 2\cdot \ln(2)+k=0\\\\ k=-2\ln(2)\\\\\\\\ G(x)=2 \ln(x^2+1)-2\ln(2) \end{array} \end{array}$

Svar #4
26. oktober 2020 af Blithe

#3
$\small \begin{array}{lllllll} \textup{Substitution:}\\& \begin{array}{lllllll} G(x)=\int \frac{4x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x=\int \frac{1}{x^2+1}\,4x\mathrm{d}x=2\cdot \int \frac{1}{t} \,\mathrm{d}t=2\cdot \ln(t)+k=2\cdot \ln(x^2+1)+k\\\\\ G{\,}'(x_o)=g(x_o)=-2\\\\ \frac{4x_o}{{x_o}^2+1}=-2\\\\ 4x_o=-2({x_o}^2+1)\\\\ 2x_o=-({x_o}^2+1)\\\\ {x_o}^2+2x_o+1=(x_o+1)^2=0\\\\ x_o=-1\end{array}\\\\ \textup{R\o ringspunkt R:}&y_o=-2\cdot x_o-2\\\\& \begin{array}{lllllll} y_o=-2\cdot (-1)-2=0\\\\ R=(-1,0)\\\\\\ G(-1)=2\cdot \ln((-1)^2+1)+k=0\\\\ 2\cdot \ln(2)+k=0\\\\ k=-2\ln(2)\\\\\\\\ G(x)=2 \ln(x^2+1)-2\ln(2) \end{array} \end{array}$

Hvor kommer -2 fra i linje 2? Er det fordi du differentierer y?

Brugbart svar (0)

Svar #5
26. oktober 2020 af mathon

-2 er tangentens hældningstal.

Skriv et svar til: integration ved substitution

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.