Matematik

integration ved substitution

26. oktober kl. 19:58 af Blithe - Niveau: A-niveau

Hej SP

Hvordan ville I løse denne opgave?

Bestem ved brug af integration ved substitution den stamfunktion til funktionen

g(x)=\frac{4x}{x^2+1}

hvis graf har linjen y = −2x −2 som tangent.


Brugbart svar (1)

Svar #1
26. oktober kl. 20:01 af peter lind

Brug substitutionen t = x2+1  dt =2xdx


Svar #2
26. oktober kl. 20:18 af Blithe

#1

Brug substitutionen t = x2+1  dt =2xdx

Ok. Det har jeg gjort nu:

g(x)=\frac{4x}{x^2+1}

t=x^2+1

\frac{dt}{dx}=2x

dx=\frac{1}{2x}*dt

Indsætter t og dx

\int \frac{4x}{t}*\frac{1}{2x}*dt

\int \frac{4x}{t*2x}*dt

\int \frac{2}{t}*dt

=2ln|t|+k

Indsætter t

\int\frac{4x}{x^2+1}dx=2ln(x^2+1)+k

Hvordan bestemmer jeg så stamfunktionen, hvis graf har linjen y=-2x-2 ?


Brugbart svar (1)

Svar #3
26. oktober kl. 20:35 af mathon

\small \small \begin{array}{lllllll} \textup{Substitution:}\\& \begin{array}{lllllll} G(x)=\int \frac{4x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x=\int \frac{1}{x^2+1}\,4x\mathrm{d}x=2\cdot \int \frac{1}{t} \,\mathrm{d}t=2\cdot \ln(t)+k=2\cdot \ln(x^2+1)+k\\\\\ G{\,}'(x_o)=g(x_o)=-2\\\\ \frac{4x_o}{{x_o}^2+1}=-2\\\\ 4x_o=-2({x_o}^2+1)\\\\ 2x_o=-({x_o}^2+1)\\\\ {x_o}^2+2x_o+1=(x_o+1)^2=0\\\\ x_o=-1\end{array}\\\\ \textup{R\o ringspunkt R:}&y_o=-2\cdot x_o-2\\\\& \begin{array}{lllllll} y_o=-2\cdot (-1)-2=0\\\\ R=(-1,0)\qquad R\textup{ er f\ae lles for grafen for }G\textup{ og tangenten i }R\\\\\\ G(-1)=2\cdot \ln((-1)^2+1)+k=0\\\\ 2\cdot \ln(2)+k=0\\\\ k=-2\ln(2)\\\\\\\\ G(x)=2 \ln(x^2+1)-2\ln(2) \end{array} \end{array}


Svar #4
26. oktober kl. 20:43 af Blithe

#3

\small \begin{array}{lllllll} \textup{Substitution:}\\& \begin{array}{lllllll} G(x)=\int \frac{4x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x=\int \frac{1}{x^2+1}\,4x\mathrm{d}x=2\cdot \int \frac{1}{t} \,\mathrm{d}t=2\cdot \ln(t)+k=2\cdot \ln(x^2+1)+k\\\\\ G{\,}'(x_o)=g(x_o)=-2\\\\ \frac{4x_o}{{x_o}^2+1}=-2\\\\ 4x_o=-2({x_o}^2+1)\\\\ 2x_o=-({x_o}^2+1)\\\\ {x_o}^2+2x_o+1=(x_o+1)^2=0\\\\ x_o=-1\end{array}\\\\ \textup{R\o ringspunkt R:}&y_o=-2\cdot x_o-2\\\\& \begin{array}{lllllll} y_o=-2\cdot (-1)-2=0\\\\ R=(-1,0)\\\\\\ G(-1)=2\cdot \ln((-1)^2+1)+k=0\\\\ 2\cdot \ln(2)+k=0\\\\ k=-2\ln(2)\\\\\\\\ G(x)=2 \ln(x^2+1)-2\ln(2) \end{array} \end{array}

Hvor kommer -2 fra i linje 2? Er det fordi du differentierer y?


Brugbart svar (0)

Svar #5
26. oktober kl. 20:50 af mathon

      -2 er tangentens hældningstal.


Skriv et svar til: integration ved substitution

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.