Matematik

Partiel integration

07. december 2020 af Gwynbleidd - Niveau: A-niveau

Hej Alle,

Jeg sidder med en opgave der lyder at jeg skal finde stamfunktion af $f(x)=x*ln(x)$

Nogen der kan hjælpe, ved at gennemngå løsnignen grundigt ved hjælp af partiel integration?

Sætter pris på alt hjælp!

Brugbart svar (1)

Svar #1
07. december 2020 af MatHFlærer

Formel:

$\int f(x)\cdot g(x)dx=F(x) \cdot g(x)-\int F(x) \cdot g'(x) dx$

Udregning:

$\int x \cdot \ln(x)dx=\frac{1}{2}x^2\cdot \ln(x)-\int \frac{1}{2}x^2\cdot \frac{1}{x}dx=\frac{\ln(x)x^2}{2}-\frac{1}{2} \int x dx=...$

prøv at udregn resten.

Brugbart svar (1)

Svar #2
07. december 2020 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{llllll} \textup{Partiel integration}\\& \begin{array}{llllll} F(x)=\int x\cdot \ln(x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}x^2\cdot \ln(x)-\int \frac{1}{2}x^2\cdot \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\\\\ \frac{1}{2}x^2\cdot \ln(x)-\frac{1}{2}\cdot \int x\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}x^2\cdot \ln(x)-\left (\frac{1}{2}x \right )^2+k=\frac{1}{2}x^2\left ( \ln(x)-1 \right )+k\\\\\textup{som den nemmeste} \end{array} \end{array}$

Svar #3
07. december 2020 af Gwynbleidd

Så må løsnigen på dette jo være som følgende

$\frac{ln(x)x^2}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{x^2}{2}= \frac{ln(x)x^2}{2}-\frac{x^2}{4} +C$

Brugbart svar (0)

Svar #4
07. december 2020 af mathon

$\small \small \small \small \begin{array}{llllll} \textup{Partiel }\\ \textup{integration:} \\& \begin{array}{llllll} F(x)=\int \ln(x)\cdot x\,\mathrm{d}x=\left ( x\ln(x)-x \right )\cdot x-\left ( \int \left ( x\ln(x)-x \right )\cdot 1 \right )\,\mathrm{d}x=\\\\ x^2\ln(x)-x^2-\left (\int \left ( x\ln(x) \right )\,\mathrm{d}x-\int x\,\mathrm{d}x \right )=\\\\ x^2\ln(x)-x^2-\int x\ln(x) \,\mathrm{d}x+\frac{1}{2}x^2+k_1\\\\ 2\int x\cdot \ln(x)\,\mathrm{d}x=x^2\ln(x)-\frac{1}{2}x^2+k_1\\\\ \int x\cdot \ln(x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}x^2\ln(x)-\frac{1}{4}x^2+k=\\\\ \frac{1}{2}x^2\left ( \ln(x)-\frac{1}{2} \right )+k \\\\\textup{som den mere klodsede} \end{array} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
07. december 2020 af mathon

korrektion:

$\small \small \small \small \begin{array}{llllll} \textup{Partiel integration}\\& \begin{array}{llllll} F(x)=\int x\cdot \ln(x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}x^2\cdot \ln(x)-\int \frac{1}{2}x^2\cdot \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\\\\ \frac{1}{2}x^2\cdot \ln(x)-\frac{1}{2}\cdot \int x\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}x^2\cdot \ln(x)-\frac{1}{4}x^2 +k=\frac{1}{2}x^2\left ( \ln(x)-\frac{1}{2} \right )+k\\\\\textup{som den nemmeste} \end{array} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
07. december 2020 af AMelev

#3 Tjek med dit CAS-værktøj.

Skriv et svar til: Partiel integration

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.