fuldstændige reelle løsning til differentialligningen

Hvad har du problemer med?

jeg vil gerne have forklaret vhordan man gør step by step.

Her er nogle korte svar, som du selv må sætte dig ind i.

a) Det karakteristiske polynomium p, defineret ved p(λ) = λ² - 10λ + 41, har rødderne λ = 5 ± 4i. Løsningen til differentialligningen bliver derfor y(t) = Ae^5tcos(4t) + Be^5tsin(4t), hvor A,B er reelle tal.

b) Gæt Z_p(t) = Ke^{(3 + 2i)t} som en partikulær løsning, hvor K er en konstant, der ønskes at finde. Da vil Z_p''(t) - 10Z_p'(t) + 41Z_p(t) = ... = (16 - 8i)Ke^{(3 + 2i)t}. Men, da den skulle være lig med 80e^{(3 + 2i)t}, må K = 80/(16 - 8i) = ... = 4 + 2i.

c) Du har 80e^3tsin(2t) = Im(80e^{(3 + 2i)t}), så kan vi anvende et resultat fra b). Den partikulære løsning er altså y_p(t) = Im(Z_p(t)) = ... = 2e^3tcos(2t) + 4e^3tsin(2t). Hvis y_hom betegner løsningen fra a), er den fuldstændige løsning nemlig   y(t) = y_p(t) + y_hom(t).