Matematik

02. april 2021 af maria2016 - Niveau: C-niveau

Hej håber der er nogle som kan hjælpe med at forklarer hvordan jeg kan løse denne opgave ved hjælp af Geogebra

Faktoriser andengradspolynomiumet:

f(x) = 4x^2 - 4x + 1

g(x) = x^2 - 8x +7

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. april 2021 af ringstedLC

Med GG har du ihvertfald to metoder:

1: Tegn funktionen, brug rodværktøjet og indsæt rødderne i:

$\begin{align*} f(x) &= a\cdot (x-r_1)\cdot (x-r_2) \end{align*}$

2: Tast forskriften i CAS og brug faktoriseringsværktøjet.

Brugbart svar (0)

Svar #2
04. april 2021 af ringstedLC

Lidt hjælp til at faktorisere med håndkraft.

Start med eventuelt at sætte en faktor udenfor parentes:

$\begin{align*} k\,a\,x^2+k\,b\,x+k\,c &= k\cdot \bigl(a\,x+b\,x+c\bigr) \end{align*}$

så der fås et udtryk i heltal. k bliver så en ekstra faktor udover de to toledede størrelser.

Se på a og d:

$\begin{align*} a<0 \wedge d>0: \\\left \{r_1,r_2\right \} &= \left \{\tfrac{-b\,-\,\sqrt{d}}{2\,a},\tfrac{-b\,+\sqrt{d}}{2\,a}\right \} \\ a\,x^2+b\,x+c &= a\cdot \bigl(x-r_1\bigr)\cdot \bigl(x-r_2\bigr) \\ &= a\cdot \bigl(x^2-r_2\cdot x-r_1\cdot x+r_1\,r_2\bigr) \\ &= a\cdot \bigl(x^2 +(-r_1-r_2)\cdot x+r_1\,r_2\bigr) \\ a\,x^2+b\,x+c &= a\,x^2 +\underset{=\;b}{\underbrace{a\cdot (-r_1-r_2)}}\cdot x+\underset{=\;c}{\underbrace{a\cdot r_1\,r_2}} \\ &\Rightarrow r_1+r_2=\tfrac{-b}{a} \\ &\Rightarrow \quad\, r_1\,r_2= \tfrac{c}{a} \\ a>0 \wedge d>0: \\ a\,x^2+b\,x+c &= a\cdot \bigl(x-r_1\bigr)\cdot \bigl(x-r_2\bigr) \\ &= \sqrt{a}\cdot \bigl(x-r_1\bigr)\cdot \sqrt{a}\cdot \bigl(x-r_2\bigr) \\ a\,x^2+b\,x+c &= \Bigl(\sqrt{a}\cdot x-\sqrt{a}\cdot r_1\Bigr)\cdot \Bigl(\sqrt{a}\cdot x-\sqrt{a}\cdot r_2\Bigr) \\ \end{align*}$

Prøv nu at gætte et sæt løsninger. Ellers løses to ligninger med to ubekendte; de to rødder.

Hvis d = 0 kan den ene faktor blive kvadratet på en toleddet størrelse:

$\begin{align*} d=0 \Rightarrow r_1=r_2=r:\\ a\,x^2+b\,x+c &= a\cdot \bigl(x-r\bigr) \cdot \bigl(x-r\bigr) \\ &= a\cdot \bigl(x-r\bigr)^2 \\ &= a\cdot \bigl(x-\tfrac{-b}{2\,a}\bigr)^2\;,\;r=\tfrac{-b}{2\,a} \end{align*}$

Hvis samtidig a > 0 og √a er "pæn:

$\begin{align*} a>0 \wedge d=0:\\ a\,x^2+b\,x+c &= a\cdot \bigl(x-r\bigr) \cdot \bigl(x-r\bigr) \\ &= \sqrt{a}\cdot \bigl(x-r\bigr)\cdot \sqrt{a} \cdot \bigl(x-r\bigr) \\ &= \Bigl(\sqrt{a}\cdot x-\sqrt{a}\cdot r\Bigr)^2 \\ &= \Bigl(\sqrt{a}\cdot x-\tfrac{-b}{2\,\sqrt{a}}\Bigr)^2\;,\;r=\tfrac{-b}{2\,a} \end{align*}$

Kontrollér faktoriseringen ved at gange parenteserne ud.

Brugbart svar (0)

Svar #3
04. april 2021 af ringstedLC

$\begin{align*} f(x) &= 4x^2-4x+1 \Rightarrow \left\{\begin{matrix}a>0 \\d=0\end{matrix}\right\} \Rightarrow r=\tfrac{-b}{2\,a} \\ f(x) &= \Bigl(\sqrt{a}\cdot x-\tfrac{-b}{2\,\sqrt{a}}\Bigr)^2 \\ &= \bigl(2x-1\bigr)^2 \end{align*}$

$\begin{align*} g(x) &= x^2-8x+7\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a>0 \\ d>0 \end{matrix}\right\} \Rightarrow \left\{\begin{matrix}r_1+r_2=\tfrac{-b}{a} \\ \;\;\; r_1\,r_2=\tfrac{c}{a}\end{matrix}\right\} \\ &\Rightarrow \left\{\begin{matrix}r_1+r_2=8 \\ \quad r_1\,r_2=7\end{matrix}\right\} \Rightarrow (8-r_2)\cdot r_2=7 \\ &\Rightarrow 8\,r_2-{r_2}^2=7 \Rightarrow {r_2}^2-8\,r_2+7=0 \Rightarrow \left \{r_1,r_2\right \}=\left \{1,7\right \} \\ g(x) &= \Bigl(\sqrt{a}\cdot x-\sqrt{a}\cdot r_1\Bigr)\cdot \Bigl(\sqrt{a}\cdot x-\sqrt{a}\cdot r_2\Bigr) \\ g(x) &= (x-1)\cdot (x-7) \end{align*}$

Svar #4
06. april 2021 af maria2016

Tusind tak

Skriv et svar til: Matematik

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.